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8.2一元线性回归模型及其应用(精讲)
思维导图
思维导图
常见考法
常见考法
考点一样本中心解小题
【例1】(2021·江西赣州市)某产品在某零售摊位上的零售价(元)与每天的销售量(个)统计如下表:
16
17
18
19
50
34
31
据上表可得回归直线方程为,则上表中的的值为()
A.38 B.39 C.40 D.41
【一隅三反】
1.(2021·江西景德镇市·景德镇一中)随机变量与的数据如表中所列,其中缺少了一个数值,已知关于的线性回归方程为,则缺少的数值为()
2
3
4
5
6
5
6
▲
7
9
A.6 B.6.6 C.7.5 D.8
3.(2021·安徽六安市·六安一中)蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐,殊不知蟋蟀鸣叫的频率(每分钟鸣叫的次数)与气温(单位:)存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据下表的观测数据,建立了关于的线性回归方程.
(次数/分钟)
则当蟋蟀每分钟鸣叫次时,该地当时的气温预报值为()
A. B. C. D.
考点二一元线性方程
【例2】(2021·兴义市第二高级中学)在2010年春节期间,某市物价部门,对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查,五个商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示:
价格x
9
9.5
10
10.5
11
销售量y
11
10
8
6
5
通过分析,发现销售量y对商品的价格x具有线性相关关系,求
(1)销售量y对商品的价格x的回归直线方程;
(2)若使销售量为12,则价格应定为多少.
附:在回归直线中,
3.(2021·湖北省武昌实验中学高二期末)根据统计,某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的对应数据的散点图,如图所示.
(1)依据数据的散点图可以看出,可用线性回归模型拟合y与x的关系,请计算相关系数r并加以说明(若,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合);
(2)求y关于x的回归方程,并预测当液体肥料每亩使用量为12千克时,西红柿亩产量的增加量约为多少?
附:相关系数公式.
参考数据:,.
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,.
考点三非一元线性方程
【例3】(2020·全国高二课时练习)在一次抽样调查中测得个样本点,得到下表及散点图.
(1)根据散点图判断与哪一个适宜作为关于的回归方程;(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果试建立与的回归方程;(计算结果保留整数)
(3)在(2)的条件下,设且,试求的最小值.
参考公式:回归方程中,,.
【一隅三反】
1.(2020·江苏省如皋中学高二月考)某种新产品投放市场一段时间后,经过调研获得了时间x(天数)与销售单价y(元)的一组数据,且做了一定的数据处理(如表),并作出了散点图(如图).
表中.
(1)根据散点图判断,与哪一个更适合作价格y关于时间x的回归方程类型?(不必说明理由)
(2)根据判断结果和表中数据,建立y关于x的回归方程.
(3)若该产品的日销售量(件)与时间x的函数关系为,求该产品投放市场第几天的销售额最高?最高为多少元?
附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为.
2.(2021·江苏苏州市)我国为全面建设社会主义现代化国家,制定了从2021年到2025年的“十四五”规划.某企业为响应国家号召,汇聚科研力量,加强科技创新,准备增加研发资金.现该企业为了了解年研发资金投入额(单位:亿元)对年盈利额(单位:亿元)的影响,研究了“十二五”和“十三五”规划发展期间近10年年研发资金投入额和年盈利额的数据.通过对比分析,建立了两个函数模型:①,②,其中,,,均为常数,为自然对数的底数.令,,经计算得如下数据:
26
215
65
2
680
5.36
11250
130
2.6
12
(1)请从相关系数的角度,分析哪一个模型拟合程度更好?
(2)(ⅰ)根据(1)的选择及表中数据,建立关于的回归方程;(系数精确到0.01)
(ⅱ)若希望2021年盈利额为250亿元,请预测2021年的研发资金投入额为多少亿元?(结果精确到0.01)
附:①相关系数,回归直线中:,
②参考数据:,.
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