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5证明:图2-1状态转移矩阵性质5)6证明:7由A唯一地确定,当利用计算时,与所选择的无关。证明:设和是的两个不同的基本解阵,且两者之间成立其中:P为非奇异实值常阵,则这表明是满足唯一性的。总结:已知线性定常系统的状态方程为:求该状态方程的解x(t),其实就是求系统的状态响应。主要方法有如下两种:积分法:拉氏变换法:1.2.4线性时变系统的运动分析一线性时变系统的状态转移矩阵1定义称满足如下矩阵方程的n×n矩阵为系统的状态转移矩阵。状态转移矩阵与基本解阵的关系为:2状态转移矩阵的计算(1)若,则(2)若,则3状态转移矩阵的性质当A(t)给定后,状态转移矩阵是唯一的。如果A(t)与是可交换的,则二线性时变系统的运动规律三线性时变系统的脉冲响应矩阵**C++程序设计哈尔滨工程大学第1章线性系统的时间域分析:状态空间法1.1系统的数学描述1.2线性系统的运动分析1.3线性系统的能控性和能观性1.4系统运动的稳定性1.5线性反馈系统的时间域综合1.2线性系统的运动分析1.2.1引言1.2.2线性定常系统的运动分析1.2.3线性定常系统的状态转移矩阵1.2.4线性时变系统的运动分析1.2.1引言一运动分析实质线性系统的状态方程为:运动分析的目的:从系统数学模型出发,定量地和精确地定出系统运动的变化规律。或数学实质:求解在给定的和u作用下的状态方程,即由初始状态和外输入作用所引起的响应。二.零输入响应和零状态响应线性系统满足叠加原理,利用该属性可把系统在初始状态和输入向量作用下的运动分解为两个单独的分运动,即由初始状态引起的自由运动和由输入作用引起的强迫运动。1.零输入响应零输入响应:指系统输入u为零时,由初始状态x0单独作用所引起的运动。即状态方程的解,用表示。零状态响应:指系统初始状态x0为零时,由系统输入u单独作用所引起的运动。即状态方程的解,用表示。2.零状态响应系统总的运动响应是零输入响应和零状态响应的叠加,即1.2.2线性定常系统的运动分析一.零输入响应输入u=0时,线性定常系统的状态方程:称为齐次状态方程。求线性定常系统的零输入响应,其实就是求该齐次状态方程的解。1.矩阵指数函数定义n×n的矩阵函数为矩阵指数函数。2.零输入响应由状态方程描述的线性定常系统的零输入响应的表达式为当时(即),线性定常系统的零输入响应为:3几种典型矩阵A的矩阵指数函数(1)当A为对角线矩阵,即时(2)当A为分块对角矩阵,即时(3)当A具有如下形式则A是零幂矩阵,即自乘若干次后划成零矩阵。应用矩阵指数函数定义,可得推广可得(4)当A具有如下形式(5)当A具有如下形式由矩阵指数函数定义,有(6)当A具有如下形式方法一:幂级数求和法直接利用矩阵指数函数的定义式计算,即说明:通常,这种方法只能得到eAt的数值结果,一般不能写成闭合形式函数表达式。实际计算时,可取级数的前有限项给出的近似结果,即:其中:N可根据实际系统精度要求确定。4矩阵指数函数的计算方法(※)方法二:特征值特征向量法利用对角形变换求解当A的n个特征值两两互异时,确定矩阵P,化A为对角线标准形则有:利用约当形变换求解当A有重特征值时,确定矩阵Q,化A为约当标准形,
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