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有限差分法

流体运动的控制方程多为偏微分方程，在复杂的情况下不存在解析解。但是对于一些简单的情况存在解析解，偏微分方程的解析解可用精确的数学表达式表示，该表达式给出了因变量在整个定义域中的连续变化状况。有限差分法（FiniteDifferenceMethod,FDM）是数值计算中比较经典的方法，由于其计算格式直观且计算简便，因此被广泛地应用在计算流体力学中。有限差分法首先将求解区域划分为差分网格，变量信息存储在网格节点上，然后将偏微分方程的导数用差商代替，代入微分方程的边界条件，推导出关于网格节点变量的代数方程组，通过求解代数方程组，获得偏微分方程的近似解。偏微分方程被包含离散点未知量的代数方程所替代，这个代数方程能求出离散节点处的变量，这种离散方法叫做有限差分法。

有限差分逼近

2.1.1有限差分网格

由于有限差分法求解的是网格节点上的未知量值，因此首先介绍有限差分网格。图2.1–1是x-y平面上的矩形差分网格示意图。在x轴方向的网格间距为△x，在y轴方向的网格间距为△y，网格的交点称为节点，计算变量定义在网格节点上。称△x和△y为空间步长，△x一般不等于△y，且△x和△y也可以不为常数。取各方向等距离的网格，可以大大简化数学模型推导过程，并且经常会取得更加精确的数值解。本章作为计算流体力学入门知识，假设沿坐标轴的各个方向网格间距分别相等，但是并不要求各方向的网格间距一致。例如假设△x和△y是定值，但是不要求△x等于△y。

在图2.1-1中，网格节点在x方向用i表示，在y方向用j表示。因此，假如（i，j）是点P在图2.1–1中的坐标，那么，点P右边的第一个点的就可以用（i+1，j）表示；在P左边的第一个点的就可以用（i—1，j）表示；点P上边的第一个点的就可以用（i，j+1）表示；点P下边的第一个点的就可以用（i，j—1）表示。

2.1.2几种差分近似

将微分方程化为有限差分方程时，最普遍的形式是基于泰勒展开（Taylorexpantion）的。如图2.1–2所示，假如表示点（i，j）的待求量，那么，点（i+1，j）的未知量就可以用基于点（i，j）的Taylor展开表示

（2.1-1）

式（2.1-1）是的数学精确表达式，假如数值是有限的而且系列是收敛的，并且△x趋近于零。

通过下面的例子来进一步说明泰勒展开及其计算精度。考虑关于自变量x的连续方程f(x)，其中所有的微分都针对x。如在点x处的函数值f(x)已知，那么，f(x+△x)值可以通过Taylor展开从x处的信息知道，即

（2.1-2）

式（2.1-2）的意义如图2.1–2所示。假设知道f在x（图2.1–2中的点1）处的值，想利用式（2.1-2）求解f在x+△x(图2.1–2中的点2)处的值。检查式（2.1–2）的右侧，可以看见第一项f(x)不能作为对f(x+△x)的良好近似，除非函数f(x)为常数。一个重要的精度改进是利用点1处的曲线斜率，这就是式（2.1-2）的第二项的作用。为了取得f(x+△x)处的更好的近似，加入了第三项，这是点1和点2之间的曲线曲率。一般来说，为了取得更高的精度，必须加入更高的项。实际上，当式（2.1-2）右端有无穷多项高阶项时，它就变成了f(x+△x)的精确表示。

一阶前差分

下面结合式（2.1-1）讨论有限差分的形式，解式（2.1-1）的，可以得到

（2.1-3）

式中：等式左端的微分项是在点（i，j）处取值；右端的第一项，即是微分项的有限差分形式；右端剩下的部分是截断误差。所以式（2.1-3）可近似写为

（2.1-4）

将式（2.1-4）与式（2.1-3）对比，可以看出式（2.1-4）具有截断误差，并且截断误差的最低阶是△x的一次方。因此，称式（2.1-4）的有限差分形式为一阶精度。可以将式（2.1–4）更加精确的表示为

（2.1-5）

式（2.1-5）中，符号是表示截断误差，代表“△x的阶”。在式（2.1-5）中，截断误差的阶数被明确的表示出来。从图2.1–1可以看出，式（2.1-5）中的有限差分格式使用到了点（i，j）及其右边的信息，即用到了和；没有用到点（i，j）左边的信息，所以式（2.1-5）中的有限差分格式叫做前差分。因此定义式（2.1-5）中的一阶有限差分形式为一阶前差分。图2.1–3中将x方向一阶前差分用到的节点称为差分模块，点周围标明加号或减号是与公式相对应的。

2．一阶后差分

现在写出用表示的Taylor展开形式：

（2.1