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弹性力学材料模型：材料非线性：超弹性材料特性教程

1弹性力学基础

1.11弹性力学概述

弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和

应力分布。它基于连续介质力学的基本假设，即材料可以被视为连续的、无间

隙的介质，其内部的物理量（如应力、应变）可以连续变化。弹性力学不仅适

用于线性弹性材料，也适用于非线性弹性材料，如超弹性材料。

1.22应力与应变

1.2.1应力

应力是单位面积上的内力，通常分为正应力（σ）和切应力（τ）。正应力

是垂直于截面的应力，而切应力是平行于截面的应力。在三维空间中，应力可

以用一个3x3的对称矩阵表示，称为应力张量。

1.2.2应变

应变是材料变形的度量，分为线应变（ε）和剪应变（γ）。线应变描述了

材料在某一方向上的伸长或缩短，而剪应变描述了材料的剪切变形。同样，应

变也可以用一个3x3的对称矩阵表示，称为应变张量。

1.2.3示例：计算应力和应变

假设一个正方形材料样本，边长为1m，在x方向上受到1000N的力，材

²

料的横截面积为1m，弹性模量为200GPa。

#定义材料属性和外力

force_x=1000#N

area=1#m²

elastic_modulus=200e9#Pa

#计算正应力

stress_x=force_x/area#N/m²或Pa

#计算线应变

strain_x=stress_x/elastic_modulus

#输出结果

1

print(f正应力:{stress_x}Pa)

print(f线应变:{strain_x})

1.33弹性本构关系

弹性本构关系描述了材料的应力与应变之间的关系。对于线性弹性材料，

这种关系可以用胡克定律表示，即应力与应变成正比，比例常数为材料的弹性

模量。对于非线性弹性材料，如超弹性材料，这种关系可能更为复杂，需要使

用更高级的数学模型来描述。

1.3.1胡克定律

=

其中，σ是应力，ε是应变，E是弹性模量。

1.3.2示例：使用胡克定律计算应力

假设一个材料的弹性模量为200GPa，线应变为0.001。

#定义材料属性

elastic_modulus=200e9#Pa

strain=0.001

#使用胡克定律计算应力

stress=elastic_modulus*strain

#输出结果

print(f应力:{stress}Pa)

1.44线性弹性理论

线性弹性理论是弹性力学的一个简化模型，它假设应力与应变之间存在线

性关系。在这一理论中，材料的变形是微小的，且在去除外力后，材料能够完

全恢复到原始状态。线性弹性理论适用于大多数工程材料在小变形条件下的分

析。

1.4.1线性弹性方程

=

其中，σ是应力张量，ε是应变张量，C是弹性常数张量。

1.4.2示例：计算三维线性弹性材料的应力

假设一个三维材料样本，其弹性常数张量C已知，且在x、y、z方向上的

应变分别为0.001、0.002、0.003。

2

importnumpyasnp

#定义弹性常数张量C

C=np.array([[200e9,0,0],[0,100e9,0],[0,0,50e9]])

#定义应变张量ε

epsilon=np.array([[0.001],[0.002],[0.003]])

#计算应力张量σ

sigma=np.dot(C,epsilon)

#输出结果

print(f应力张量:\n{sigma}Pa)

以上示例中，我们使用了numpy库来处理矩阵运算，计算了在给定应变下

材料的应力分布。这在实际工程分析中是非常常见的操作，可以帮助我们理解

材料在外力作用下的行为。

2材料非线性概念

2.11非线性弹性材料定义

非线性弹性材料是指在受力作用下，其应力