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弹性力学材料模型：材料非线性：弹性力学基础理论

1弹性力学概述

1.1弹性力学的基本概念

弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和

应力分布。它基于连续介质力学的基本假设，将物体视为由无数连续分布的质

点组成，这些质点之间通过弹性力相互作用。弹性力学的核心是解决弹性体的

平衡问题，即在给定的外力和边界条件下，确定物体内部的应力和应变分布。

1.1.1应力和应变

应力（Stress）：单位面积上的内力，通常用张量表示，分为正应

力和剪应力。

应变（Strain）：物体在外力作用下发生的变形程度，也用张量表

示，分为线应变和剪应变。

1.1.2平衡方程和边界条件

平衡方程：描述物体内部力的平衡状态，包括静力平衡方程和动

力平衡方程。

边界条件：物体与外界接触面的约束条件，分为位移边界条件和

应力边界条件。

1.2线性与非线性弹性材料的区别

1.2.1线性弹性材料

线性弹性材料遵循胡克定律，即应力与应变成正比关系，比例常数为材料

的弹性模量。这种材料的弹性行为可以用线性方程描述，简化了问题的求解过

程。

1.2.2非线性弹性材料

非线性弹性材料的应力与应变关系不是简单的线性比例，而是依赖于应变

的大小和历史。这种材料的弹性行为需要使用非线性方程来描述，增加了问题

的复杂性和求解难度。

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1.2.2.1非线性弹性材料的模型

非线性弹性材料的模型多种多样，常见的有：

超弹性模型（HyperelasticModels）：如Mooney-Rivlin模型、Neo-

Hookean模型等，这些模型基于能量函数来描述材料的非线性行为。

弹塑性模型（ElastoplasticModels）：材料在一定应力下会发生塑

性变形，超出弹性范围。

粘弹性模型（ViscoelasticModels）：材料的变形不仅与应力有关，

还与时间有关，表现出时间依赖性。

1.2.2.2示例：Mooney-Rivlin模型

Mooney-Rivlin模型是一种描述非线性超弹性材料的模型，其应力应变关系

由以下方程给出：

++2−

=211221ln

其中，是应力张量，是左Cauchy-Green应变张量，和是的不变量，

12

是雅可比行列式，是压力，、和是材料常数。

121

1.2.2.3代码示例：计算Mooney-Rivlin模型的应力

importnumpyasnp

defmooney_rivlin_stress(B,C1,C2,D1):

计算Mooney-Rivlin模型的应力张量。

参数:

B:左Cauchy-Green应变张量

C1,C2,D1:Mooney-Rivlin模型的材料常数

返回:

sigma:应力张量

I1=np.trace(B)

I2=0.5*(np.trace(B)**2-np.trace(np.dot(B,B)))

J=np.linalg.det(B)

p=-D1*J*np.log(J)#假设体积不可压缩，即J=1，因此p=0

sigm