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专题1.1集合的概念-重难点题型精讲
1.元素与集合的概念及表示
(1)元素:一般地,把研究对象统称为元素,元素常用小写的拉丁字母a,b,c,…表示.
(2)集合:把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),集合通常用大写的拉丁字母A,B,C,…表示.
(3)集合相等:只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合是相等的.
2.元素的特性
(1)确定性:给定的集合,它的元素必须是确定的.也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.简记为“确定性”.
(2)互异性:一个给定集合中的元素是互不相同的.也就是说,集合中的元素是不重复出现的.简记为“互异性”.
(3)无序性:给定集合中的元素是不分先后,没有顺序的.简记为“无序性”.
3.元素与集合的关系
(1)属于:如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a∈A.
(2)不属于:如果a不是集合A的元素,就说a不属于集合A,记作a?A.
4.常用的数集及其记法
5.列举法
把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
注意:(1)元素与元素之间必须用“,”隔开.
(2)集合中的元素必须是明确的.
(3)集合中的元素不能重复.
(4)集合中的元素可以是任何事物.
6.描述法
(1)定义:一般地,设A表示一个集合,把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.有时也用冒号或分号代替竖线.
(2)具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
【题型1集合的基本概念】
【方法点拨】
给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了,所谓“确定”,是指所有被“研究的对象”都是这个集合的元素,没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素.
【例1】(2021秋?雨花区期末)下列对象不能组成集合的是()
A.不超过20的质数 B.π的近似值
C.方程x2=1的实数根 D.函数y=x2,x∈R的最小值
【解题思路】分析四个答案中所列的对象是否满足集合元素的确定性和互异性,即可得到答案.
【解答过程】解:A、一不超过20的质数,满足集合元素的确定性和互异性,故可以构造集合;
B、π的近似值,无法确定元素,不满足集合元素的确定性和互异性,故不可以构造集合;
C、方程x2=1的实数根为﹣1,1,满足集合元素的确定性和互异性,故可以构造集合;
D、函数y=x2,x∈R的最小值为0,满足集合元素的确定性和互异性,故可以构造集合;
故选:B.
【变式1-1】(2021秋?鲤城区校级期中)以下各组对象不能组成集合的是()
A.中国古代四大发明 B.地球上的小河流
C.方程x2﹣7=0的实数解 D.周长为10cm的三角形
【解题思路】根据集合元素的特点:互异性、确定性、无序性,判断各选项即可.
【解答过程】解:对于选项A:中国古代四大发明是指指南针、造纸术、印刷术、火药,满足集合元素的特征,构成集合;
对于选项B:地球上的小河流,没有明确的标准确定什么样的河流称为小河流,
故地球上的小河流不能组成集合.
对于选项C:方程x2﹣7=0的实数解为±7,满足集合元素的特征,构成集合;
对于选项D:周长为10cm的三角形也有明确的判断标准,满足集合元素的特征,构成集合;故选:B.
【变式1-2】(2021春?广南县期中)下列各对象可以组成集合的是()
A.与1非常接近的全体实数
B.北附广南实验学校2020~2021学年度第二学期全体高一学生
C.高一年级视力比较好的同学
D.中国著名的数学家
【解题思路】根据集合的元素必须具有确定性,逐个判断各个选项即可.
【解答过程】解:对于选项A:其中元素不具有确定性,故选项A错误,
对于选项B:对于任何一个学生可以判断其是否属于{北附广南实验学校2020~2021学年度笫二学期全体高一学生},故选项B正确,对于选项C:其中元素不具有确定性,故选项C错误,
对于选项D:其中元素不具有确定性,故选项D错误,故选:B.
【变式1-3】(2021秋?大安市校级月考)有下列各组对象:
①接近于0的数的全体;
②比较小的正整数的全体;
③平面上到点O的距离等于1的点的全体;
④直角三角形的全体.
其中能构成集合的个数是()
A.2 B.3 C.4 D.5
【解题思路】根据集合的元素的确定性可判断①②是错误的,根据集合的定义即可判断③④正确.
【解答过程】解:因为集合的元素必须是确定的,而①②中的数没有标准,故①②不能构成集合,
根据集合的定义可判断③④可以构成集合,故选:A.
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