人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题5.2 三角函数的概念-重难点题型精讲及检测（教师版）.docVIP

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专题5.2三角函数的概念-重难点题型精讲

1．任意角的三角函数

(1)利用单位圆定义任意角的三角函数

设SKIPIF10是一个任意角，SKIPIF10∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).

①把点P的纵坐标y叫做SKIPIF10的正弦函数，记作SKIPIF10，即y=SKIPIF10；

②把点P的横坐标x叫做SKIPIF10的余弦函数，记作SKIPIF10，即x=SKIPIF10；

③把点P的纵坐标与横坐标的比值SKIPIF10叫做SKIPIF10的正切，记作SKIPIF10，即SKIPIF10=SKIPIF10(x≠0).

我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：

(2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数

如图，设SKIPIF10是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离

为r.则SKIPIF10=SKIPIF10，SKIPIF10=SKIPIF10，SKIPIF10=SKIPIF10.

2．三角函数的定义域和函数值的符号

(1)三角函数的定义域

(2)三角函数值在各象限的符号

由于角的终边上任意一点P(x,y)到原点的距离r是正值，根据三角函数的定义，知

①正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号；

②余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号；

③正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的，即x,y同号为正，异号为负.

因此，正弦函数(SKIPIF10)、余弦函数(SKIPIF10)、正切函数(SKIPIF10)的值在各个象限内的符号如图所示.

3．诱导公式一

由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等.

由此得到一组公式(公式一)：

4．同角三角函数的基本关系

(1)同角三角函数的基本关系

(2)基本关系式的变形公式

【题型1任意角的三角函数的定义及应用】

【方法点拨】

解决此类问题的关键是正确理解任意角的三角函数的定义.

【例1】（2022·广东·高一开学考试）已知角α的终边经过点M1,2，则cosα=

A．63 B．33 C．2

【解题思路】利用三角函数的定义可求得cosα

【解答过程】由三角函数的定义可得cosα=

【变式1-1】（2022·陕西·高三阶段练习（文））设α是第二象限角，Px,8为其终边上的一点，且sinα=45，则

A．?3 B．?4 C．?6 D．?10

【解题思路】由任意角的三角函数定义即可求解

【解答过程】因为Px,8为其终边上的一点，且sinα=45，所以

因为α是第二象限角，所以x=?6，故选：C.

【变式1-2】（2022·河南·高三阶段练习（文））已知角α的终边经过点P?4m,3mm≠0，则2sin

A．?35 B．25 C．1或?25

【解题思路】先求得点P与原点间的距离r=5m，再根据正弦函数和余弦函数的定义，分m0，m0

【解答过程】由题意可得：点P与原点间的距离r=?4m

∴sinα=3m5m,cosα=

当m0时，则sinα=?35

【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A?1,y是角θ终边上一点，且sinθ=?31010

A．3 B．?3 C．1 D．?1

【解题思路】根据三角函数的定义得到方程，解得即可.

【解答过程】解：因为sinθ=?310100，A

由三角函数的定义，得yy2+1

故选：B.

【题型2三角函数值在各象限的符号】

【方法点拨】

对于确定角SKIPIF10是第几象限角的问题，应先确定题目中所有三角函数值的符号，然后依据上述三角函数值的

符号来确定角SKIPIF10是第几象限角，则它们的公共部分即所求；对于已知角SKIPIF10的终边所在的象限来判断角SKIPIF10