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未知驱动探索，专注成就专业
微分几何试题及答案
试题
1.设曲线C的参数方程为
x=\cost,y=\sint,z=t
其中，其中，。求曲线C上一点P的
切向量和法向量。
2.给定曲线C：：，其中，其中是参数。
求曲线C在点(4,8)处的切线方程。
3.设平面曲线C的参数方程为
x=\cost,y=\sint,z=t
其中，其中，。求曲线C上一点P的
切平面方程。
4.设曲面S的方程为的方程为，点P的
坐标为(1,1,-1)。求曲面S上点P的切平面方程。
5.已知曲面S的方程为的方程为，点P的
坐标为(1,1,1)。求曲面S上点P的法向量。
1
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答案
1.切向量的计算：
曲线C上一点P的切向量为曲线的导数：
所以，曲线C上一点P的切向量为的切向量为的切向量为
。
法向量的计算：
曲线C上一点P的法向量垂直于切向量，可以选择
切向量既是切线上的，也是切平面上的。所以，曲线C上
一点P的法向量为的法向量为的法向量为
。
2.切线方程的计算：
曲线C在点(4,8)处的切线方程可以通过求点(4,8)
对应的参数值，然后计算切向量得到。
2
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当当，则，则，解得，解得或或或
。当。当时，时，，与给定的点(4,8)
对应。所以切线方程为
切线方程为切线方程为和和和
。
3.切平面方程的计算：
曲线C上一点P的切平面方程可以通过计算曲线的
切向量并将该向量与P点的坐标代入平面方程得到。
曲线C上一点P的切向量为的切向量为的切向量为
。将该向量与P点的坐标
代入平面方程代入平面方程代入平面方程
，得到切平面方程为
4.切平面方程的计算：
曲面S上点P的切平面方程可以通过计算曲面的法
向量并将该法向量与P点的坐标代入平面方程得到。
3
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曲面S的方程为的方程为，对其求梯
度得到法向量度得到法向量度得到法向量
。将该法向量与P点的坐标代入平面方
程程，得到
切平面方程为
切平面方程为切平面方程为
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