专题07 二项分布、超几何分布与正态分布【考点串讲】（原卷）.docx

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专题07二项分布、超几何分布与正态分布

知识点1．伯努利试验

(1)伯努利试验的概念

把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.

(2)n重伯努利试验的两个特征

①同一个伯努利试验重复做n次；

②各次试验的结果相互独立.

知识点2．二项分布

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p).

知识点3．二项分布的期望与方差

一般地，如果XB(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p).

知识点4．超几何分布

(1)定义

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈，MN，nN，m={0，n-N+M}，r=.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.

若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np.

(2)求超几何分布的分布列

①判断随机变量是不是服从超几何分布；

②套用超几何分布中的概率公式,注意理解公式中各量的意义.

知识点5．超几何分布与二项分布的关系

(1)超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求解有

截然不同的表达式，但看它们的概率分布列，会发现其相似点.超几何分布与二项分布是两个非常重要的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解.在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至关重要的.

(2)事实上，在次品件数为确定数M的足够多的产品中，任意抽取n件(由于产品件数N无限多，无放回与有放回无区别，故可看作n重伯努利试验)，其中含有次品的件数服从二项分布.

知识点6．正态曲线与正态分布

1．我们称f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))，x∈R，其中μ∈R，σ0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

2．若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．

3．若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积．

知识点7．正态曲线的特点

1．对?x∈R，f(x)0，它的图象在x轴的上方．

2．曲线与x轴之间的面积为1.

3．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．

4．曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).

5．当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．

6．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.

7．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.

知识点8．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则

P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；

P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；

P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.

尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．

在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．

考点1n重伯努利试验的概率

【例1】（河南省开封市五县2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷）甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，比赛采取5局3胜制，假设每局比赛相互独立且没有平局，若每局比赛甲胜的概率为，则比赛在第4局结束的概率为（????）

A． B． C． D．

【解后感悟】n重伯努利试验概率求法的三个步骤

(1)判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为n重伯努利试验．

(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．

(3)计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．

【变式1-1】（山东省滨州市六校联考2022-2023学年高二下学期期中质量监测数学试题）甲、乙两选手进行乒乓球比赛的初赛，已知每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，若初赛采取三局