专题04 正余弦定理解三角形【考点串讲】(解析).docxVIP

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专题04正余弦定理解三角形

知识点1余弦定理

1、公式表达:a2＝b2＋c2－2bccosA,b2＝a2＋c2－2accosB,c2＝a2＋b2－2abcosC

2、语言叙述:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍

【注意】余弦定理的特点

(1)适用范围:余弦定理对任意的三角形都成立.

(2)揭示的规律:余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系,它含有四个不同的量,知道其中的三个量,就可求得第四个量.

3、推论:cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc),cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac),cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)

4、余弦定理在解三角形中的应用

(1)类型1:已知两边及一角,解三角形

方法概要:先利用余弦定理求出第三边,其余角的求解有两种思路:

一是利用余弦定理的推论求出其余角;

二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解;

(2)类型2:已知三边解三角形

法一:已知三边求角的基本思路是:利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值,值为正,角为锐角;值为负,角为钝角,其思路清晰,结果唯一

法二:若已知三角形的三边的关系或比例关系,常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质,转化为已知三边求解

知识点2正弦定理

1、公式表示:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即asinA

【注意】正弦定理的特点

(1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立.

(2)结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦的连等式.

(3)刻画规律:正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系,可以实现三角形中边角关系的互化.

2、推论:在?ABC中,内角A,B,C所对的边分别为

=1\*GB3①asinA=bsinB

=2\*GB3②sinA:sinB:sinC=a:b:c,

=3\*GB3③asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA

=4\*GB3④a+b+csinA+sinB+sinC=a+bsinA+sinB

=5\*GB3⑤a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(实现边和角的互相转化

3、正弦定理解决的两类问题

类型1:已知两角及一边解三角形

方法概要:(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值;

(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一;

(3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论

类型2:已知两边及一边对角,解三角形(三角形多解问题)

在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:

当A为锐角时:

当A为钝角时

知识点3三角形面积公式

在?ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,边BC,

(1)S=

(2)S=

知识点4三角形形状的判断

1、利用余弦定理判断三角形

(1)为直角三角形或或

(2)为锐角三角形,且,且

(3)为钝角三角形,且,且

(4)若,则或

2、利用正弦定理判断三角形

法一化角为边:将题目中的所有条件,利用正弦定理化角为边,再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系,如a＝b,a2＋b2＝c2等,进而确定三角形的形状.利用的公式为:sinA＝eq\f(a,2R),sinB＝eq\f(b,2R),sinC＝eq\f(c,2R)

法二化边为角:将题目中所有的条件,利用正弦定理化边为角,再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系,进而确定三角形的形状.利用的公式为:a＝2RsinA,b＝2RsinB,c＝2RsinC

考点1余弦定理解三角形

【例1】(2023春·河南·高一洛阳市第三中学校联考阶段练习)已知在中,,,,则()

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】由余弦定理可得,解得,

所以,所以为直角三角形,

则在中,.故选:A.

【变式1-1】(2023春·天津和平·高一校考阶段练习)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,则此三角形中的最大角的大小为()

A.B.C.92°D.135°

【答案】B

【解析】,

设,

最大,即最大,

,

又,.故选:B.