湖南省湘潭市第一中学2025年高三4月模拟考试（一模）数学试题含解析.docVIP

湖南省湘潭市第一中学2025年高三4月模拟考试（一模）数学试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，则集合真子集的个数为（）

A．3 B．4 C．7 D．8

2．设a,b∈(0,1)∪(1,+∞)，则a=b是log

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．的展开式中有理项有（）

A．项 B．项 C．项 D．项

4．设，命题“存在，使方程有实根”的否定是()

A．任意，使方程无实根

B．任意，使方程有实根

C．存在，使方程无实根

D．存在，使方程有实根

5．已知集合,则（）

A． B． C． D．

6．如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，.若分别是棱上的点，且，，则异面直线与所成角的余弦值为（）

A． B． C． D．

7．已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象()

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

8．将一块边长为的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为，则的值为（）

A．6 B．8 C．10 D．12

9．抛物线的准线与轴的交点为点，过点作直线与抛物线交于、两点，使得是的中点，则直线的斜率为（）

A． B． C．1 D．

10．已知函数，，，，则，，的大小关系为（）

A． B． C． D．

11．设命题：，，则为

A．， B．，

C．， D．，

12．已知数列中，，且当为奇数时，；当为偶数时，．则此数列的前项的和为（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数则______.

14．已知是夹角为的两个单位向量，若，，则与的夹角为______.

15．（5分）已知为实数，向量，，且，则____________．

16．（5分）已知，且，则的值是____________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（Ⅰ）设直线与曲线交于，两点，求；

（Ⅱ）若点为曲线上任意一点，求的取值范围.

18．（12分）已知在中，角，，的对边分别为，，，的面积为.

（1）求证：；

（2）若，求的值.

19．（12分）已知函数

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若函数的值域为A，且，求a的取值范围.

20．（12分）已知函数，为实数，且．

（Ⅰ）当时，求的单调区间和极值；

（Ⅱ）求函数在区间，上的值域（其中为自然对数的底数）．

21．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，且．

求的值；

设的平分线与边交于点，已知，，求的值.

22．（10分）如图，在四棱锥中，底面，，，，为的中点，是上的点.

（1）若平面，证明：平面.

（2）求二面角的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C

【解析】

解出集合，再由含有个元素的集合，其真子集的个数为个可得答案.

【详解】

解：由，得

所以集合的真子集个数为个.

故选：C

此题考查利用集合子集个数判断集合元素个数的应用，含有个元素的集合，其真子集的个数为个，属于基础题.

2．A

【解析】

根据题意得到充分性，验证a=2,b=1

【详解】

a,b∈0,1∪1,+∞，当a=b

当logab=log

故选：A.

本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.

3．B

【解析】

由二项展开式定理求出通项，求出的指数为整数时的个数，即可求解.

【详解】

，，

当，，，时，为有理项，共项.

故选:B.

本题考查二项展开式项的特征，熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题.

4．A

【解析】

只需将“存在”改成“任意”，有实根改成无实根即可.

【详解】

由特称命题的否定是全称命题，知“存在，使方程有实根”的否定是

“任意，使方程无实根”.

故选：A

本题考查含有一个量词的命题的否定，此类问题要注意在两个方面作出