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大一高等数学教材答案人教版

大一高等数学教材答案-人教版

第一章：函数与极限

1.习题解答：

1）证明：利用数列极限的定义，设有两个数列{a_n}和{b_n}，且

满足a_n≤x_n≤b_n。由于lima_n=limb_n=A，根据夹逼定理得

limx_n=A。

2）计算：

题目1：已知函数f(x)=x^2-3x+2，求f(2)的值。

解：将x代入函数表达式，得f(2)=2^2-3×2+2=4-6+2=0。

题目2：已知函数f(x)=2x^3-x，求f(-1)的值。

解：将x代入函数表达式，得f(-1)=2(-1)^3-(-1)=-2+1=-1。

第二章：导数与微分

1.习题解答：

1）求导：

题目1：求函数f(x)=x^3-3x^2+2x的导数。

解：根据函数求导法则，对幂函数按指数减一求导，得f(x)=3x^2

-6x+2。

题目2：求函数f(x)=(1-x^2)(1+x)的导数。

解：利用乘法法则和求导法则，得f(x)=(1+x)(-2x)+(1-x^2)(1)=

-2x^2-2x+1-x^2=-3x^2-2x+1。

2）求微分：

题目1：已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求x=1处的微分。

解：根据微分定义，微分值df=f(x)dx，代入函数f(x)和x=1，得

df=(3x^2-6x+2)dx=(3-6+2)dx=-dx。

题目2：已知函数y=sin(x^2)，求dy在x=0处的微分。

解：根据微分定义，微分值dy=ydx，其中y为函数y对x的导数。

对y求导得y=cos(x^2)2x，代入函数y和x=0，得dy=(cos(0)2×0)dx

=0。

第三章：定积分与不定积分

1.习题解答：

1）计算定积分：

题目1：计算∫[1,2](2x^2-3)dx。

解：根据定积分法则，计算原函数F(x)，再根据定积分基本性质计

算积分值。首先，求解F(x)=2/3x^3-3x+C，其中C为常数。因此，

∫[1,2](2x^2-3)dx=F(2)-F(1)=(2/3×2^3-3×2+C)-(2/3×1^3-3×1+C)

=(16/3-6+C)-(2/3-3+C)=44/3。

题目2：计算∫[0,π/2](cosx+sinx)dx。

解：根据定积分法则，计算原函数F(x)，再根据定积分基本性质计

算积分值。首先，求解F(x)=sinx-cosx+C，其中C为常数。因此，

∫[0,π/2](cosx+sinx)dx=F(π/2)-F(0)=(sin(π/2)-cos(π/2)+C)-(sin(0)-

cos(0)+C)=1-0=1。

2）计算不定积分：

题目1：计算∫(3x^2-2x+1)dx。

解：根据不定积分法则，对各项依次求不定积分，得∫(3x^2-2x+

1)dx=x^3-x^2+x+C，其中C为常数。

题目2：计算∫(2sec^2x+3cotx)dx。

解：根据不定积分法则，对各项依次求不定积分，得∫(2sec^2x+

3cotx)dx=2tanx-3ln|sinx|+C，其中C为常数。

第四章：级数

1.习题解答：

1）等比数列求和：

题目1：若数列{a_n}的首项为a，公比为r（|r|1），求∑a_nr^n

的和。

解：根据等比数列求和公式，当|r|1时，等比数列的和为∑a_nr^n

=a/(1-r)。

题目2：若数列{b_n}的首项为b，公比为r（|r|1），求∑b_n