材料力学数值方法：有限差分法(FDM)：有限差分法的精确性分析.pdf

材料力学数值方法：有限差分法(FDM)：有限差分法的精确

性分析

1绪论

1.1有限差分法在材料力学中的应用

有限差分法（FiniteDifferenceMethod,FDM）是解决偏微分方程的一种数值

方法，广泛应用于材料力学中，特别是在结构分析、热传导、流体力学等领域。

FDM的基本思想是将连续的偏微分方程离散化，通过在网格点上用差商代替导

数，将偏微分方程转化为代数方程组，从而可以使用数值方法求解。

1.1.1示例：一维弹性杆的应力分析

假设有一根长度为L的一维弹性杆，两端固定，受到均匀分布的横向力作

用。杆的弹性模量为E，截面积为A。我们可以通过FDM来求解杆内的应力分

布。

1.1.1.1偏微分方程

弹性杆的应力应变关系遵循胡克定律，即：

=

其中，是应力，是应变。对于一维情况，应变可以表示为位移u对x的

∂

=

导数，即。因此，应力可以表示为：

∂

∂

=

∂

1.1.1.2离散化

将弹性杆离散化为N个等间距的网格点，每个网格点的间距为。在每个

网格点上，应力可以近似为：

+1−−1

≈

2

这里，表示第i个网格点的位移。

1.1.1.3数值求解

使用上述差分公式，可以将连续的偏微分方程转化为N个网格点上的N个

代数方程。通过迭代或直接求解这些代数方程，可以得到每个网格点上的位移

进而计算出应力。

1

1.1.2Python代码示例

importnumpyasnp

#参数设置

E=200e9#弹性模量，单位：Pa

A=0.01#截面积，单位：m^2

L=1.0#杆的长度，单位：m

N=100#网格点数

F=1000#外力，单位：N

dx=L/(N-1)#网格间距

#初始化位移数组

u=np.zeros(N)

#应用边界条件

u[0]=0#左端固定

u[-1]=0#右端固定

#构建并求解代数方程组

foriinrange(1,N-1):

u[i]=u[i-1]+F*dx/(E*A)

#计算应力

sigma=E*(np.diff(u,2)/(dx**2))

#输出结果

print(网格点位移：,u)

print(网格点应力：,sigma)

1.2精确性分析的重要性

在使用有限差分法求解材料力学问题时，精确性分析是至关重要的。它涉

及到对数值解的误差评估，以及对网格尺寸、时间步长等参数的选择。精确性

分析可以帮助我们确定数值解的可靠性，避免因参数选择不当导致的计算误差。

1.2.1误差来源

1.截断误差：由差分公式近似导数引起的误差。

2.舍入误差：由计算机有限精度引起的误差。

3.数据误差：由输入数据的不确定性引起的误差。

2

1.2.2提高精确性的方法

1.减小网格尺寸：理论上，网格尺寸越小，截断误差越小，但同时

会增加计算量和舍入误差。

2.使用高阶差分公式：高阶