1.1.1　空间向量及其线性运算 导学案答案.docxVIP

第一章空间向量与立体几何

1.1空间向量及其运算

1.1.1空间向量及其线性运算

【课前预习】

知识点一

1.大小方向长度模长度|a||AB|

2.零向量模为1相等相反-a互相平行或重合

平行∥相同相等同向等长

诊断分析

(1)×(2)√(3)×(4)×[解析](1)零向量也是有方向的,只是方向是任意的.

(2)相等向量,如果起点相同,那么终点必相同.

(3)相反向量不仅要求方向相反,而且要求模也必须相等.

(4)平面内所有单位向量的长度都相等,但其方向不一定相同.

知识点二

1.空间向量平面向量

2.和三角形平行四边形b+aa+(b+c)相反向量

三角形a+(-b)向量数乘运算λa|λ||a|相同

相反0λa+λbλa+μa

诊断分析

1.(1)√(2)√(3)√

2.解:因为任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量,所以任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算,由此可知,空间向量的加、减法运算与平面向量的加、减法运算相同.

平面向量加、减法的运算律在空间向量中同样适用.

知识点三

1.a=λb2.(1)非零向量a平行(2)方向向量

3.(1)平行重合(2)平行于平面α在平面α内

(3)共面向量

4.p=xa+yb

诊断分析

1.(1)√(2)×(3)√(4)×[解析](1)若存在x,y∈R,使得p=xa+yb成立,则p与a,b一定共面.

(2)当a,b共线,而p与a,b不共线时,不存在x,y∈R,使得p=xa+yb成立.

(3)若MP=xMA+yMB,则MP与MA,MB共面,又因为MP,MA,MB有公共点M,所以P,M,A,B共面.

(4)当MA,MB共线,而MP与MA,MB不共线时,MP=xMA+yMB不成立.

【课中探究】

探究点一

例1(1)CD(2)8AD1,D1A,A1D,DA1,BC1,C1B,B1C,CB1[解析](1)对于A,当两个空间向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个空间向量相等,它们的起点和终点不一定相同,故A错误;对于B,根据相等向量的定义,要保证两个向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,但B中向量a与b的方向不一定相同,故B错误;对于C,根据正方体的性质,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,向量AC与向量A1C1的方向相同,模也相等,则AC

(2)因为AA1=1,所以向量AA1,A1A,BB1,B1B,CC1,C1C,DD1,D1D的模均为1,又其他向量的模均不为1,故共有8个单位向量.长方体的左、右两个侧面的对角线长均为5,故模为5的所有向量为

变式CD[解析]AC与C1A1是相反向量,CC1与A

探究点二

例2(1)ABD[解析]对于A,(BC-BA)+CC1=AC+CC1=AC1,故A符合题意;对于B,(AA1+A1D1)+D1C1=AD1+D1C1=AC1,故B符合题意;对于C,AD+CC1+D1C=(AD+D1C)+CC1=(A1D1+D1C)+

(2)解:连接AB1,AC1,则AB1=AB+BB1=a+c,AC1

因为D是棱B1C1的中点,所以AD=12(AB1+AC1)

因为AE=2ED,所以AE=23AD=13a+13

则BE=AE-AB=-23a+13b+2

变式(1)A(2)A[解析](1)设E为BC的中点,连接AE,EF,BC1,则G在AE上,由题意可得GF=GE+EF=13AE+12BC1=13×12(AB+AC)+12(BC+BB1)=16AB+16AC+12(AC-AB+BB

(2)对于A,AB+2BC+2CD+DC=(AB+BC)+(BC+CD)+(CD+DC)=AC+BD,故A中结果不一定为零向量;对于B,2AB+2BC+3CD+3DA+AC=2(AB+BC)+3(CD+DA)+AC=3AC+3CA=0,故B中结果为零向量;对于C,AB+DA+BD=DA+AB+BD=DB+BD=0,故C中结果为零向量;对于D,AB-CB+CD-AD=(AB-AD)+(CD-CB)=DB+BD=0,故D中结果为零向量.故选A.

探究点三

例3(1)A(2)-12[解析](1)由题意得BD=BC+CD=(-5a+6b)+(7a-2b)=2a+4b=2(a+2b)=2AB,又因为BD与AB有公共点B,所以A,B,D三点一定共线

(2)若2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线,则存在实数λ,使得2ke1-e2=λ[e1+2(k+1)e2],又非零空间向量e1,e2不共线,所以2k=λ,

变式解:∵M,N分别是AC,BF的中点,

∴MN=MA+AF+FN=12CA+AF+

又∵MN