1.1.1　空间向量及其线性运算 导学案正文.docxVIP

第一章空间向量与立体几何

1.1空间向量及其运算

1.1.1空间向量及其线性运算

【学习目标】

1.类比平面向量,能直接获得空间向量的概念,以及零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量的概念.

2.结合立体几何与空间向量的特征,知道共面向量的概念.

3.在平面向量的基础上,能应用平行四边形法则和三角形法则进行空间向量的加减运算.

4.类比平面向量,能进行空间向量的数乘运算.

◆知识点一空间向量及有关概念

1.在空间,把具有和的量叫作空间向量,空间向量的大小叫作空间向量的或.?

空间向量用字母a,b,c,…表示,也用有向线段表示,有向线段的表示空间向量的模,向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作AB,其模记为或.?

2.几类特殊的空间向量

名称

定义及表示

零向量

规定长度为0的向量叫作,记为0?

单位向量

的向量叫作单位向量?

相反向量

与向量a长度而方向的向量,叫作a的相反向量,记为?

共线向量

如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线,那么这些向量叫作共线向量或平行向量.?

规定:零向量与任意向量,即对于任意向量a,都有0a?

相等向量

方向且模的向量叫作相等向量.在空间,且的有向线段表示同一向量或相等向量?

【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)

(1)零向量是没有方向的. ()

(2)两个有共同起点且相等的向量,其终点必相同. ()

(3)空间中方向相反的两个向量是相反向量.()

(4)平面内所有单位向量都是相等的. ()

◆知识点二空间向量的线性运算

1.空间向量的自由性

任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量,这样任意两个的运算就可以转化为的运算.?

2.空间向量的线性运算

运算

定义

法则

(或几何意义)

运算律

加法

求两个向量的运算?

法则?

法则?

(1)加法交换律:

a+b=;?

(2)加法结合律:

(a+b)+c=

?

减法

减去一个向量相当于加上这个向量的?

法则?

a-b=?

数乘

实数λ与向量a的积是一个,这种运算叫作向量的,记作?

(1)|λa|=.?

(2)当λ0时,λa与a的方向;当λ0时,λa与a的方向;当λ=0时,λa=?

(1)对向量加法的分配律:

λ(a+b)=;?

(2)对实数加法的分配律:

(λ+μ)a=?

【诊断分析】1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)

(1)AB-DA+AA=AB+AD+AA. (

(2)有限个向量求和,交换相加向量的顺序,其和不变. ()

(3)若λ∈R,则λ(a+b)=λa+λb. ()

2.空间向量的加、减法运算与平面向量的加、减法运算是否相同?平面向量加、减法的运算律在空间向量中还适用吗?

◆知识点三空间向量共线与共面的充要条件

1.空间两向量共线的充要条件

对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使.?

2.空间直线的确定

(1)直线的方向向量的定义

在直线l上取,把与向量a的非零向量称为直线l的方向向量.?

(2)空间直线的确定

空间直线可以由其上一点和它的确定.?

3.共面向量的定义

(1)向量与直线平行

如果表示向量a的有向线段OA所在的直线OA与直线l或,那么称向量a平行于直线l.?

(2)向量与平面平行

如果表示向量a的有向线段OA所在的直线OA或,那么称向量a平行于平面α.?

(3)共面向量

平行于同一个平面的向量,叫作.?

4.共面向量定理

如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使.?

【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)

(1)对于向量p,a,b,若存在x,y∈R,使得p=xa+yb成立,则向量p与a,b共面. ()

(2)若向量p与向量a,b共面,则存在x,y∈R,使得p=xa+yb成立. ()

(3)若MP=xMA+yMB,则P,M,A,B共面.()

(4)若P,M,A,B共面,则MP=xMA+yMB.()

◆探究点一空间向量的有关概念及应用

例1(1)(多选题)给出下列四个说法,其中正确的是 ()

A.若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同

B.