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46第9章函数的综合问题之二次函数综合题
一、单选题
1．已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若，则m的取值范围是（）
A．m≥ B．≤m≤3 C．m≥3 D．1≤m≤3
【答案】A
【分析】当x2时，y值随x值的增大而增大，得由抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，M的纵坐标为t，，得，分三种情况讨论，当对称轴在y轴的右侧时，有＞即＜当对称轴是y轴时，有当对称轴在y轴的左侧时，有＞从而可得结论．
【解答】解：当对称轴在y轴的右侧时，
，
由①得：＜
由②得：
由③得：
解得：＜3，
当对称轴是y轴时，
m＝3，符合题意，
当对称轴在y轴的左侧时，
解得m＞3，
综上所述，满足条件的m的值为．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图形与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征，解不等式组，解题的关键是理解题意，学会利用对称轴的位置进行分类讨论思考问题．
2．如图，已知抛物线的对称轴为直线．给出下列结论：
①；②；③；④．
其中，正确的结论有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据开口方向及抛物线与ｙ轴交点的位置即可判断①；根据抛物线与ｘ轴交点的个数即可判断②；根据对称轴为直线，即可判断③；根据抛物线的对称性，可知抛物线经过点（-1,0），即可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向下，则a＜0，
∵抛物线交于y轴的正半轴，则c＞0，
∴ac＜0，故①正确；
∵抛物线与ｘ轴有两个交点，
∴，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，则，即2a=-b，
∴2a+b=0，故③错误；
∵抛物线经过点（3,0），且对称轴为直线，
∴抛物线经过点（-1,0），则，故④正确；
∴正确的有①②④，共3个，
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；?当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
3．如图是抛物线，其顶点为，且与轴的个交点在点和之间，则下列结论正确的个数是（）个
①若抛物线与轴的另一个交点为，则；②；③若时，随的增大而增大，则．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】①根据抛物线的对称性得：AD=BD，列不等式结论；
②将顶点坐标（1，n）代入抛物线的解析式中，列两式可得结论；
③根据抛物线的对称轴由此作判断；
【解答】解：①如图，
设抛物线与x轴的交点为A和B（A在B的右侧），
则3-1＜AD＜4-1，2＜AD＜3，
由对称性得：AD=BD，
∴2＜BD＜3，
∵B（k，0），
∴BD=1-k，
∴2＜1-k＜3，
∴-2＜k＜-1，所以选项①正确；
②∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴，b=-2a，
a+b+c=n，
a-2a+c=n，
∴-a+c=n，
c-a=n，
所以选项②正确；
③∵抛物线的对称轴是直线x=1，
∴若x＜1时，y随x的增大而增大，
则m≥-1；所以选项③正确；
故选D
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），明确以下几点：
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；
③常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．
4．二次函数的部分图象如图所示，则下列说法：①abc0；②2a+b=0；③a(x+1)(x-3)=0；④2c-3b=0．其中正确的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先根据二次函数的对称性补全函数图像，由函数的开口方向，对称轴以及与y轴的交点确定a，b，c的符号，从而判断①；根据对称轴的位置判断②；根据函数的解析式判断③；根据二次函数图象与x轴的交点判断④．
【解答】解：如图，由抛物线过，对称轴为根据对称性得到抛物线的图像经过
①图象开口向下，∴a＜0，
与y轴交于正半轴，∴c＞0，
对称轴在y轴右侧，∴b＞0，
则abc＜0，故①错误；
②对称
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