2024-2025年人教版必修第四册11.1.6祖暅原理与几何体的体积(带答案).docx

11．1.6祖暅原理与几何体的体积

必备知识基础练

进阶训练第一层

1.

已知高为3的棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1-ABC的体积为()

A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)

C．eq\f(\r(3),6)D．eq\f(\r(3),4)

2．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为eq\r(5)，那么它的体积为()

A．6eq\r(3)B．eq\r(3)

C．2eq\r(3)D．2

3．圆台上底半径为2，下底半径为6，母线长为5，则圆台的体积为()

A．40πB．52π

C．50πD．eq\f(212,3)π

4.

如图，三棱柱ABC-A′B′C′的体积为1，则四棱锥C-AA′B′B的体积是()

A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)

C．eq\f(2,3)D．eq\f(3,4)

5．圆锥的侧面展开图为一个扇形，其圆心角为eq\f(2,3)π，半径为3，则此圆锥的体积为()

A．2eq\r(2)πB．eq\f(\r(2),3)π

C．eq\f(2\r(2),3)πD．eq\r(2)π

6.

如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F依次是AB，AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D，H，G为垂足，若将△ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积与体积．

关键能力综合练

进阶训练第二层

7．(多选)下列结论错误的是()

A．等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的9倍

B．在公式V台体＝eq\f(1,3)(S2＋eq\r(S2S1)＋S1)h中，h为该台体的侧棱或母线长

C．在三棱柱A1B1C1-ABC中，有VA-A1BC＝VB1-A1C1B＝VC1-A1BC成立

D．若一个球的表面积为4π，则这个球的体积是eq\f(4,3)π

8.

如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为()

A．5πB．6πC．20πD．10π

9．(文化情境命题)我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等．现有一个几何体和一个圆锥满足祖暅原理，若该圆锥的侧面展开图是半径为3的圆的eq\f(1,3)，则该几何体的体积为()

A．eq\f(2\r(2),3)πB．eq\f(4\r(2),3)πC．4eq\r(2)πD．eq\f(8,3)π

10．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体，则这样截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是________．

11．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的内切铁球，并注入水，使水面与球上面正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．

12．(数学抽象)现有一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态).将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面所在的平面EE1F1F与各棱的交点分别为其所在棱的中点，则图甲中水面的高度为________．

13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝eq\r(3)，在三角形内挖去一个半圆(圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，与BC交于点N)，将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体．

(1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；

(2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．

14．正三棱锥的高为1，底面边长为2eq\r(6)，内有一个球与它的四个面都相切．求内切球的表面积与体积．

核心素养升级练

进阶训练第三层

15.

如图所示，某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计．已知圆柱的底面周长为24πcm，高为30cm，圆锥的母线长为20cm.

(1)求这种“笼具”的体积；

(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，已知每平方米该材料的造价为8元，则共需多少元？

v11．1.6祖暅原理与几何体的体积

必备知识基础练

1．答案：D

解析：V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×12×3