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2025届广东省广州市执信中学高三上学期第三次测试数学试卷
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.下列四组函数中,表示同一个函数的一组是(????)
A. B.
C. D.
2.若复数满足,则(????)
A.1 B.-1 C. D.16
3.若,则的大小关系是(????)
A. B.
C. D.
4.已知向量集合,,则(????)
A. B. C. D.
5.函数在区间上是增函数,且,,则函数在区间上(????)
A.是增函数 B.是减函数
C.可以取到最大值 D.可以取到最小值
6.已知点P在抛物线M:上,过点P作圆C:的切线,若切线长为,则点P到M的准线的距离为(????)
A.5 B. C.6 D.
7.设为等比数列,则“对于任意的,”是“为递减数列”的(????)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.如图,B地在A地的正东方向处,C地在B地的北偏东方向处,河流的沿岸(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远.现要在曲线上选一处M建一座码头,向B、C两地转运货物.经测算,从M到B、C两地修建公路的费用分别是a万元/、万元/,那么修建这两条公路的总费用最低是(????)
A.万元 B.万元 C.万元 D.万元
二、多选题
9.函数的图象可能是(????)
A. B.
C. D.
10.有一组样本数据,添加一个数形成一组新的数据,且,则新的样本数据(????)
A.第25百分位数不变的概率是
B.极差不变的概率是
C.平均值变大的概率是
D.方差变大的概率是
11.如图1,一个正四棱柱形的密闭容器水平放置,其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块,容器内盛有a升水时,水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置,水面也恰好过点P(图2),则(????)
A.若往容器内再注入a升水,则容器恰好能装满
B.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
C.将容器侧面水平放置时,水面也恰好过点P
D.任意摆放该容器,当水面静止时,水面都恰好经过点P
三、填空题
12.已知函数的导函数为,且满足,则.
13.如图,圆与轴的正半轴的交点为,点,在圆上,且点位于第一象限,点的坐标为,.若,则的值为.
14.对有个元素的总体进行抽样,先将总体分成两个子总体和(m是给定的正整数,且),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本,用表示元素i和j同时出现在样本中的概率,则;所有的和等于.
四、解答题
15.在中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且,.
(1)求的值;
(2)若的面积为,求AB边上的高.
16.如图,在四棱锥中,与交于点,点在平面内的投影为点,若为正三角形,且,.
??
(1)证明:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
17.在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为、,椭圆与轴正半轴的交点为点,且为等腰直角三角形.
(1)求椭圆的离心率;
(2)已知斜率为的直线与椭圆相切于点,点在第二象限,过椭圆的右焦点作直线的垂线,垂足为点,若,求椭圆的方程.
18.已知函数,,.
(1)若,求的极值;
(2)当时,讨论零点个数;
(3)当时,,求实数的取值范围.
19.将个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列,对任意,如果,那么称数对构成数列的一个逆序对,一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数.
(1)若将1,2,3,4四个数构成的数列恰有2个逆序对,请写出符合条件的数列组合;
(2)计算以下数列的逆序数.
(ⅰ);
(ⅱ);
(3)已知数列,,…,的逆序数为,求,,…,的逆序数.
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参考答案:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
D
C
C
C
C
B
ABD
BCD
题号
11
答案
ACD
1.A
【分析】函数的三要素:定义域,对应法则和值域;函数的三要素相同,则为同一个函数,判断函数的三要素即可求解.
【详解】对于,和的定义域都是,对应关系也相同,是同一个函数,故选项正确;
对于,函数的定义域为,函数的定义域为,定义域不同,不是同一个函数,故选项错误;
对于,函数的定义域为,函数的定义域为,定义域不同,不是同一个
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