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浙江省衢州市2025届高三下学期模拟考试数学试题试卷

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量，满足，在上投影为，则的最小值为()

A． B． C． D．

2．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的-一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则的关系为（）

A． B．

C． D．

3．已知的垂心为，且是的中点，则（）

A．14 B．12 C．10 D．8

4．已知函数．若存在实数，且，使得，则实数a的取值范围为（）

A． B． C． D．

5．已知函数，若关于的方程恰好有3个不相等的实数根，则实数的取值范围为（）

A． B． C． D．

6．函数的图象大致为（）

A． B．

C． D．

7．在中，角所对的边分别为，已知，则（）

A．或 B． C． D．或

8．如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为

A．0 B． C． D．1

9．关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计的值：先用计算机产生个数对，其中，都是区间上的均匀随机数，再统计，能与构成锐角三角形三边长的数对的个数﹔最后根据统计数来估计的值.若，则的估计值为（）

A． B． C． D．

10．已知非零向量、，若且，则向量在向量方向上的投影为（）

A． B． C． D．

11．已知为等比数列，，，则（）

A．9 B．－9 C． D．

12．已知奇函数是上的减函数，若满足不等式组，则的最小值为（）

A．-4 B．-2 C．0 D．4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的值是，则输入的值为____________．

14．函数的定义域为_____________.

15．对定义在上的函数，如果同时满足以下两个条件：

（1）对任意的总有；

（2）当，，时，总有成立.

则称函数称为G函数.若是定义在上G函数，则实数a的取值范围为________.

16．（5分）有一道描述有关等差与等比数列的问题:有四个和尚在做法事之前按身高从低到高站成一列，已知前三个和尚的身高依次成等差数列，后三个和尚的身高依次成等比数列，且前三个和尚的身高之和为cm，中间两个和尚的身高之和为cm，则最高的和尚的身高是____________cm．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数，，

（1）讨论的单调性；

（2）若在定义域内有且仅有一个零点，且此时恒成立，求实数m的取值范围.

18．（12分）我国在贵州省平塘县境内修建的500米口径球面射电望远镜（FAST）是目前世界上最大单口径射电望远镜.使用三年来，已发现132颗优质的脉冲星候选体，其中有93颗已被确认为新发现的脉冲星，脉冲星是上世纪60年代天文学的四大发现之一，脉冲星就是正在快速自转的中子星，每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间（脉冲星的自转周期）是-定的，最小小到0.0014秒，最长的也不过11.765735秒.某-天文研究机构观测并统计了93颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期，绘制了如图的频率分布直方图.

（1）在93颗新发现的脉冲星中，自转周期在2至10秒的大约有多少颗？

（2）根据频率分布直方图，求新发现脉冲星自转周期的平均值.

19．（12分）在边长为的正方形，分别为的中点，分别为的中点，现沿折叠，使三点重合，构成一个三棱锥.

（1）判别与平面的位置关系，并给出证明；

（2）求多面体的体积.

20．（12分）底面为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体.若，.

（1）求证：；

（2）求二面角的正弦值.

21．（12分）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是的中点．

（1）证明：平面；

（2）设是线段上的动点，当点到平面距离最大时，求三棱锥的体积．

22．（10分）2019年9月26日，携程网发布《2019国庆假期旅游出行趋势预测报告》，2018年国庆假日期间，西安共接待游客1692.56万人次，今年国庆有望超过2000万人次，成为西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司规定：若公司某位导游接待旅客，旅游年总收人不低于40(单位：万元)，则称该导游为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高