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弹性力学材料模型：各向异性材料的数值模拟技术教程

1弹性力学基础

1.11弹性力学基本概念

弹性力学是研究弹性体在外力作用下变形和应力分布的学科。弹性体是指

在外力作用下能够产生变形，当外力去除后，能够恢复原状的物体。在弹性力

学中，我们关注的是物体的内部应力和应变，以及它们如何影响物体的形状和

尺寸。

1.1.1弹性体的分类

各向同性材料：材料的物理性质在所有方向上都相同。

各向异性材料：材料的物理性质随方向而变化。

1.1.2弹性常数

对于各向同性材料，主要的弹性常数包括杨氏模量（E）、泊松比（ν）和

剪切模量（G）。而对于各向异性材料，弹性常数则更为复杂，通常需要一个弹

性矩阵来描述。

1.22应力与应变

1.2.1应力

应力（Stress）是单位面积上的内力，通常用σ表示。在弹性力学中，我们

区分正应力（σ）和剪应力（τ）。

1.2.2应变

应变（Strain）是物体在外力作用下变形的程度，通常用ε表示。应变分为

线应变和剪应变。

1.2.3应力应变关系

在各向同性材料中，应力应变关系由胡克定律描述：

=

其中，E是杨氏模量，ε是应变。

在各向异性材料中，应力应变关系更为复杂，通常由一个6x6的弹性矩阵

描述，该矩阵包含了所有独立的弹性常数。

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1.2.4示例代码：计算各向同性材料的应力

#定义杨氏模量和应变

E=200e9#杨氏模量，单位：帕斯卡

epsilon=0.001#应变

#计算应力

sigma=E*epsilon

#输出结果

print(f应力为：{sigma}Pa)

1.33弹性方程与边界条件

1.3.1弹性方程

弹性方程是描述弹性体内部应力和应变分布的微分方程。在三维空间中，

弹性方程通常由三个偏微分方程组成，分别描述x、y、z三个方向上的应力和

应变关系。

1.3.2边界条件

边界条件是指在弹性体边界上施加的约束条件，包括位移边界条件和应力

边界条件。位移边界条件通常指边界上的位移或变形，而应力边界条件则指边

界上的外力或压力。

1.3.3示例代码：使用有限元方法求解弹性方程

importnumpyasnp

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

fromscipy.sparseimportcsc_matrix

#定义弹性矩阵（各向同性材料简化版）

D=np.array([[200e9,0,0],[0,200e9,0],[0,0,100e9]])

#定义外力向量

F=np.array([0,0,-1000])

#定义位移边界条件

u_bc=np.array([0,0,0])

#定义有限元网格和节点

假设我们有一个简单的网格，包含个节点和个单元

#2D42

2

nodes=np.array([[0,0],[1,0],[1,1],[0,1]])

elements=np.array([[0,1,2],[0,2,3]])

#计算刚度矩阵

K=np.zeros((3,3))

foreleminelements:

#计算每个单元的刚度矩阵

#这里简化处理，仅展示计算流程

K_elem=np.array([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]])

#将单元刚度矩阵添加到总刚度矩阵中

fori,jinnp.ndindex(K_elem.shape):

K[i,j]+=K_elem[i,j]

#将边界条件应用到刚度矩阵和外力向量上

K=csc_matrix(K)

F=F-K.dot(u_bc)

#求解位移向量

u=spsolve(K,F)

#输出位移向量

print(f位移向量为：{u})

1.3.4解释

上述代码使用了有限元方法来求解弹性方程。首先定义了弹性矩阵