空间向量的数量积运算高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修1.pptxVIP

第一章空间向量与立体几何

1.1.2空间向量的数量积运算

1.掌握空间向量的数量积，空间向量的夹角

2.掌握空间向量数量积的性质及运算律

3.能利用空间向量的数量积判断两个向量的垂直及平行

学习目标

复习回顾：

记作

注意：在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的

1.平面向量的夹角：

平面向量的数量积的定义：

2.平面向量的数量积

复习回顾：

思考1：如何定义两个非零空间向量的夹角呢？

o

B

A

关键是起点相同！

1.空间两个向量的夹角

O

探究新知

思考2：如何定义两个非零空间向量的数量积呢？

2.两个向量的数量积

注意①两个向量的数量积是数量，而不是向量.

②零向量与任意向量的数量积等于0.即

两个向量数量积的性质

①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔_______

②若a与b同向，则a·b＝______；若反向，则a·b＝________.

③特别地，a·a＝____或|a|＝

④若〈a，b〉为a，b的夹角，则cos〈a，b〉＝_______

⑤|a·b|≤|a|·|b|

3.空间向量的数量积的性质

a·b＝0

|a|·|b|

－|a|·|b|

|a|2

思考1向量的数量积运算是否满足运算律？

答案满足①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.

②a·b＝b·a(交换律).

③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).

不满足结合律，(a·b)·c＝a·(b·c)是错误的.

答案不能，向量没有除法.

1.如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2)).

4.向量a的投影

一、数量积的计算

例1如图所示，在棱长为1的正四面体A－BCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：

二、利用数量积证明垂直问题

例2如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.

则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.

又∵OG∩BD＝O，OG⊂平面GBD，BD⊂平面GBD，

∴A1O⊥平面GBD.

例3.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角.

三、用数量积求解夹角和模

解不妨设正方体的棱长为1，

则|a|＝|b|＝|c|＝1，

∴异面直线A1B与AC所成的角为60°.

课后作业