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弹性力学材料模型：正交各向异性材料的本构关系教程

1弹性力学基础

1.11弹性力学基本概念

弹性力学是研究弹性体在外力作用下变形和应力分布的学科。弹性体是指

在外力作用下能够产生变形，当外力去除后，能够恢复到原来形状的物体。在

弹性力学中，我们关注的是物体的内部应力、应变以及位移，这些量之间的关

系由本构关系描述。

1.1.1弹性体与非弹性体

弹性体：能够恢复原状的物体。

非弹性体：变形后不能完全恢复原状的物体。

1.1.2应力与应变

应力：单位面积上的内力。

应变：物体变形的程度，无量纲。

1.1.3弹性模量

杨氏模量：描述材料在拉伸或压缩时的弹性性质。

剪切模量：描述材料在剪切力作用下的弹性性质。

泊松比：横向应变与纵向应变的比值。

1.22应力与应变

在弹性力学中，应力和应变是两个基本的物理量，它们之间的关系是研究

弹性体行为的关键。

1.2.1应力张量

应力张量是一个二阶张量，描述了物体内部任意点处的应力状态。在直角

坐标系中，应力张量可以表示为：

=

1

1.2.2应变张量

应变张量同样是一个二阶张量，描述了物体的变形状态。在直角坐标系中，

应变张量可以表示为：

=

1.2.3线性弹性关系

在小变形情况下，应力和应变之间存在线性关系，由胡克定律描述：

=

其中，是弹性常数，描述了材料的弹性性质。

1.2.4例子：计算应力

=200=0.3

假设一个材料的杨氏模量，泊松比，在方向上受到

100的拉应力。计算方向的应变。

#材料参数

E=200e9#杨氏模量，单位：Pa

nu=0.3#泊松比

#应力

sigma_x=100e6#单位：Pa

#计算应变

epsilon_x=sigma_x/E

print(fx方向的应变：{epsilon_x:.6f})

1.33平衡方程与相容条件

1.3.1平衡方程

平衡方程描述了物体内部应力的分布必须满足的条件，以保证物体处于平

衡状态。在直角坐标系中，平衡方程可以表示为：

∂∂∂

+++=0

∂∂∂

∂∂