一向量组线性关系的判定.pptx

一、向量组线性关系旳鉴定

线性相关与线性无关的概念都是针对一个

特定的向量组1,2,L,m而言的，当我们考

虑到向量空间中两种基本运算的结合物线性

组合k11k22Lkmm时，其结果为向量空

间中的一个特殊向量——零向量，那么，一个

自然的问题是：是否存在一组不全为零的数

k1,k2,L,km，也使得其线性组和为零向量？

答案只有两种：存在或不存在.这样，也就自

然而然地提出了线性相关与线性无关的概念，若

存在，则称该向量组线性相关；若不存在，则称

该向量组线性无关，所谓不存在，指的是当且仅

当k1k2Lkm0

时,才有k11k22LkmmO

线性相关与线性无关还可以通过线性表出的

概念来体现，即看其中有无某个向量(不是任意一

个向量)，可由其余向量线性表出？此外，还应注

意到：线性相关与线性无关是一对排中对立的概

念，据此，在论证某些相关性问题时，我们往往

采用反证法。

研究这一类问题，一般有两种方法。

方法一：从定义出发

令L

k1α1k2α2kmαm0

a11a21am10



ka12ka22Lkam20

1M2MmMM



a1na2namn0

整理得线性方程组

a11k1a21k2Lam1km0

a12k1a22k2Lam2km0

LLLLL(*)



a1nk1a2nk2Lamnkm0

若线性方程组只有唯一零解，则L

(*)α1,α2,,

线性无关；若线性方程组有非零解则

αm(),α1,α2,

L线性相关

,αm.

方法二：利用矩阵秩与向量组秩之间的关系判定

给出一组维向量L，就得到一个

nα1,α2,,αm

相应的矩阵L，首先求出；若

A(α1,α2,,αm)R(A)

，则L线性无关；若，

R(A)mα1,α2,,αmR(A)m

则L线性相关。

α1,α2,,αm

例1.研究下列向量组的线性相关性

101

α2,α2,α0

123

352

解：令

k1α1k2α2k3α3O

1010

即：2200

k1k2k3

3520

k1k30

整理得：2k12k20()

3k15k22k30

101

Q线性方程组()的系数行列式2200

352

线性方程组必