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微积分的起源与发展

主要内容：

一、微积分为什么会产生

二、中国古代数学对微积分创立的贡献

三、对微积分理论有重要影响的重要科学家

四、微积分的现代发展

一、微积分为什么会产生

微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。公元前三

世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双

曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在

古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所着的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一

尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥

小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型

的极限概念。

到了十七世纪，哥伦布发现新大陆，哥白尼创立日心说，伽利略出版《力学对话》，开

普勒发现行星运动规律－－航海的需要，矿山的开发，火松制造提出了一系列的力学和数学

的问题，这些问题也就成了促使微积分产生的因素，微积分在这样的条件下诞生是必然的。

归结起来，大约有四种主要类型的问题：

第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。

已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过

来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。

困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，

就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬刻，移动的距

离和所用的时间都是0，而0/0是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在它运动的

每一时刻必有速度，是不容怀疑的。

第二类问题是求曲线的切线的问题。

这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问

题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。

困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个没有解决的问题。

古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接触于一点而且位于曲线的一边的直线”。

这个定义对于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。

第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。

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十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以45°角发射炮弹时，射程最大。研究行星运

动也涉及最大最小值问题。

困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。

第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相

当大的物体作用于另一物体上的引力。

困难在于：古希腊人用穷竭法求出了一些面积和体积，尽管他们只是对于比较简单的面

积和体积应用了这个方法，但也必须添加许多技巧，因为这个方法缺乏一般性，而且经常得

不到数值的解答。

穷竭法先是被逐步修改，后来由微积分的创立而被根本修改了。

欧多克斯的穷竭法是一种有限且相当复杂的几何方法。它的思想虽然古老，但很重要，

阿基米德用得相当熟练，我们就用他的一个例子来说明一下这种方法。

二、中国古代数学对微积分创立的贡献

微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互逆关

系。最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的。前两阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追朔

到古希腊的阿基米德都作出了各自的贡献。对于这方面的工作，古代中国毫不逊色于西方，

微积分思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学不能比拟的。公元前7世纪老庄哲学中

就有无限可分性和极限思想；公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、

无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。刘徽公元263年首创的割圆术求圆面积和

方锥体积，求得圆周率约等于3.1416，他的极限思想和无穷小方法，是世界古代极限思想

的深刻体现。

微积分思想虽然可追朔古希腊，但它的概念和法则却是16世纪下半叶，开普勒、卡瓦

列利等