基本不等式（2）教学设计 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.docxVIP

教学设计高中课程标准数学必修一

2.2基本不等式（2）

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课前回顾

1.基本不等式及其变形，用基本不等式需要的条件。

2.如何利用基本不等式求函数和代数式的最值.

设计意图：复习上一节重点知识，巩固不等式的性质

二、揭示目标

1.熟练掌握基本不等式及其应用.

2.基本不等式和与积之间的关系.

3.能利用基本不等式证明简单的不等式

4.会用基本不等式求解实际问题中的最值问题.

设计意图：教师揭示学习目标，让学生清楚重点，带着明确的目标进行学习。

三、自学指导

阅读教材46-47页，回答下列问题

问题：已知都为正数，则

⑴若(和为定值)，则当时，积取得最大值；

⑵若(积为定值)，则当时，和取得最小值。

注意：“一正、二定、三相等”的条件；主要技巧：“拆项”，“添项”，“配凑因式”。

思考题：(1)设都是正数,试证明不等式:

(2)已知a,b,c0,求证:

解析（1）证明:

,

当且仅当,即取等号.

因为所以

所以

设计意图：将本节重点知识梳理出来，让学生通过预习和阅读教材，弄清楚这几个问题。

当堂训练

例1.（1）用篱笆围成一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？

（2）一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?

因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.

因此,这个矩形的长、宽都为9m时,菜园的面积最大,最大面积是81m2.

例2.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为,深为，如果池底每的造价为元，池壁每的造价为元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为L元，根据题意，得

由

由

因此，当水池底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是29760元.

例3.已知x0,y0且,求的最小值.

解:（1）因为x0,y0且,

所以,当且仅当即时,等号成立,故当x=12,y=3时,x+2y取得最小值18.

变式1.本题中,若把“”改成“x+2y=1”,其他条件不变,求的最小值.

解:因为x0,y0,x+2y=1,

所以当且仅当时取等号,

结合x+2y=1,得所以当时,取到最小值18.

变式2.将本例中的“”改为“”,求的最小值.

解:

,

当且仅当,即x+1=4y且,也就是y=3,x=11时取等号.

变式3.将本例中的“”改为“8y+x=2xy”,求x+2y的最小值.

解:因为8y+x=2xy,所以,所以,所以,

所以,当且仅当x=4y且8y+x=2xy,即x=6,y=时取等号.

例4.利用基本不等式求解含参数的恒成立问题

(1)已知,若关于的不等式恒成立,则的最小值为(C)

A.1 B.2 C.4 D.8

(2)当x0时,不等式恒成立,则实数的取值范围为(A.)

A. B.C.D.

解析:(1)由题得,所以

因为

(当且仅当时,等号成立),所以,即a≥4,a的最小值为4.

(2)因为x0,所以2x2+ax+1≥0,即a≥-(2x+),

因当且仅当x=时,取等号,所以.

变式4.当x0时,不等式恒成立,则的最小值是.?

解析:因为x0,所以恒成立.

又因为当且仅当x=2时,等号成立.所以a≥,即a的最小值为.

方法总结：含参数的不等式恒成立问题,若能分离参数,常分离参数后再求解.一般地,若a≥f(x)恒成立,则a≥f(x)的最大值(其中f(x)是关于变量x的关系式);若a≤f(x)恒成立,则a≤f(x)的最小值.若a≥f(x)有解,则a≥f(x)的最小值;若a≤f(x)有解,则a≤f(x)的最大值.

五、小组汇报

小组先互助，再汇报。各小组对本节内容进行讨论，组长落实，组员不清楚的知识点和解题方法，安排会的同学帮助解决；安排好准备发言汇报的同学。

小组互助：①各小组对本节内容进行讨论；

②组长落实，组员不清楚的知识点和解题方法，安排会的同学帮助解决；

③安排好准备发言汇报的同学.

小组汇报：各个小组汇报存在的问题，问题要具体，汇报结束后，其他小组补充或者分享其他解法。

六、教师点拨

教师适时关注学生汇报的情况和展示的内容，对存在的问题及时纠正；对学生不会的地方及时点拨和引导

当堂检测

做课本48页练习第1,2,3,4题

设计意图：通过当堂检测，清楚学生对本节内容的掌握程度。

八、课后反思

请一个组的同学总结这节课的学习内容，其他组员补充。

1.基本不等式及其变形，用基本不等式需要的条件。

2.基本不等式和与积之间的关系.

【课后作业】

习题2.2第2,3,6,7,8