基本不等式 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.pptxVIP

2.2基本不等式

学习目标1.理解基本不等式的内容及证明．2.能应用基本不等式基本不等式

若a0，b0，则≥通常我们把上式写作：当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.适用范围：a0,b0..学..科..网.新课引入求最值时注意把握“一正，二定，三相等”已知x,y都是正数,P,S是常数.(1)xy=P?x+y≥2P(当且仅当x=y时,取“=”号).(2)x+y=S?xy≤S2(当且仅当x=y时,取“=”号).142.利用基本不等式求最值

一、基本不等式

基本不等式表明两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

基本不等式的推导过程

aboABPQ对基本不等式的几何意义作进一步探究:AB是圆O的直径，Q是AB上任一点，AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ，连AP,BP,则PQ=_____,半径AO=_____几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长。

注意:(1)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。(2)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。

能否证明不等式：思考：调和平均数平方平均数

证明:平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数

二、利用基本不等式求最值解：

利用基本不等式求积的最大值或求和的最小值时，需满足(1)a，b必须是正数.（一正）(2)在a+b为定值时，便可以知道ab的最大值；在ab为定值时，便可以知道a+b的最小值.（二定）(3)当且仅当a=b时，等式成立（三相等）

已知x0,求函数的最大值x0，-x0,-x+≥2,∴x+≤-21-x1x当且仅当-x=,即x=-1时取得最大值-21-x利用基本不等式求最值，首先要满足“一正”

例2.求函数f(x)=x+(x＞-1)的最小值.1x+1解:∵x＞-1，∴x+10.∴f(x)=x+1x+1=(x+1)+-11x+1=1，≥2(x+1)?-11x+1当且仅当取“=”号.∴当x=0时，函数f(x)的最小值是1.x+1=，即x=0时，1x+1练习:1.已知函数求函数的最小值当x=3是函数有最小值6

1.已知x0,y0,xy=24,求4x+6y的最小值，并说明此时x,y的值．当x=6,y=4时,最小值为482.已知x0，求的最大值.巩固练习3.求x＞-1时，的最小值.解:∵x＞-1,∴x+10.∴=(x+1)+-11x+1x+1x+1=1,≥2(x+1)?-11x+1当且仅当取“=”号.∴当x=0时,取最小值是1.x+1=,即x=0时,1x+1

提高练习2已知x0,y0,且x+2y=1,求的最小值．3.已知x,y为正数,且2x+8y＝xy，则x+y的最小值是___.181.若0x,求x(1-2x)的最大值.12解:∵0x,∴1-2x0.12∴x(1-2x)=?2x?(1-2x)12≤?[]22x+(1-2x)21218=.当且仅当时,取“=”号.2x=(1-2x),即x=14∴当x=时,函数x(1-2x)的最大值是.1418

小结：求最值时注意把握“一正，二定，三相等”已知x，y都是正数，P，S是常数.(1)xy=P?x+y≥2P(当且仅当x=y时，取“=”号).(2)x+y=S?xy≤S2(当且仅当x=y时，取“=”号).14利用基本不等式求最值基本不等式求最值，要注意：一正二定三相等