专题02 三角形全等-倍长中线(解析版).pdf

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倍长中线模型

模型讲解

【结论】

已知:如图,E是BC的中点,点A在DE上,且∠BAE=∠CDE,则:

AB=CD.

【证明】

方法一:延长DE至点F,EF=DE.

∵E是BC的中点

∴BE=CE,

在△BEF和△CED中,

∴△BEF≌△CED(SAS).

∴BF=CD,∠D=∠F.

又∵∠BAE=∠D,

∴∠BAE=∠F.

∴AB=BF.

∴AB=CD.

方法二:作BF⊥DE于点F,CG⊥DE于点G.

∴∠F=∠CGE=90°.

又∵∠BEF=∠CEG,BE=CE,

在△BEF和△CEG中,

∴△BFE≌△CGE.

∴BF=CG.

在△ABF和△DCG中,

∵,

∴△ABF≌△DCG.

∴AB=CD.

方法三:作CF∥AB,交DE的延长线于点F.

∴∠F=∠BAE.

又∵∠BAE=∠D,

∴∠F=∠D.

∴CF=CD.

∵,

∴△ABE≌△FCE.

∴AB=CF.

∴AB=CD.

方法点拨

例题演练

1.如图,在△ABC中,AB=8,AC=5,AD是△ABC的中线,则AD的取值范

围是()

A.3<AD<13B.1.5<AD<6.5C.2.5<AD<7.5

D.10<AD<16

【解答】解:延长AD到E,AD=DE,连接BE,

∵AD是△ABC的中线,

∴BD=CD,

在△ADC和△EDB中,

∴△ADC≌△EDB(SAS),

∴EB=AC,

根据三角形的三边关系定理:8﹣5<AE<8+5,

∴1.5<AD<6.5,

故选:B.

2.如图,等边三角形ABC中,E是线段AC上一点,F是BC延长线上一点.连

接BE,AF.点G是线段BE的中点,BN∥AC,BN与AG延长线交于点

N.

(1)若∠BAN=15°,求∠N;

(2)若AE=CF,求证:2AG=AF.

【解答】解:(1)∵△ABC是等边三角形,

∴∠ABC=∠ACB=60°,

∵AC∥BN,

∴∠NBC=∠ACB=60°,

∴∠ABN=∠ABC+∠NBC=120°,

∴在△ABN中,

∠N=180°﹣∠ABN﹣∠BAN=180°﹣120°﹣15°=45°;

(2)∵AC∥BN,

∴∠N=∠GAE,∠NBG=∠AEG,

又∵点G是线段BE的中点,

∴BG=EG,

∴△NBG≌△AEG(AAS),

∴AG=NG,AE=BN,

∵AE=CF,

∴BN=CF,

∵∠ACB=60°,

∴∠ACF=180°﹣∠ACB=120°,

∴∠ABN=∠ACF,

又∵AB=AC,

∴△ABN≌△ACF(SAS),

∴AF=AN,

∵AG=NG=AN,

∴AF=2AG.

3.已知:AD为△ABC的中线,分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰

三角形ABE和等腰三角形ACF,且AE=AB,AF=AC,连接EF,∠EAF+∠

BAC=180°.

(1)如图1,若∠ABE=65°,∠ACF=75°,求∠BAC的度数.

(2)如图1,求证:EF=2AD.

【解答】(1)解:∵AE=AB,

∴∠AEB=∠ABE=65°,

∴∠EAB=50°,

∵AC=AF,

∴∠ACF=∠AFC=75°,

∴∠CAF=30°,

∵∠EAF+∠BAC=180°,

∴∠EAB+2

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