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探究操作性问题

【典型例题】

【例1】（江苏镇江)（1）由题可知．

，，

．

，即为的中点．

（2）①由（1）可知，，

，，

．

，

又，四边形为平行四边形．

②设，轴，则，则．

过作轴，垂足为，在中，

．

平行四边形为菱形．

（3）设直线为，由，得，代入得：

直线为．

设直线与抛物线的公共点为，代入直线关系式得：

，，解得．得公共点为．

所以直线与抛物线只有一个公共点．

【例2】（福建南平）

（1）①证法一：与均为等边三角形，

，

且

，

即

．

②，，．

（2）①

②证法一：依题意，知和都是正边形的内角，，，

，即．

．

，， 13分

，

【例3】（内江市）

观察计算

（1）；

（2）．

探索归纳

（1）①；②；

（2）．

①当，即时，，．；

②当，即时，，．；

③当，即时，，．．

综上可知：当时，选方案二；

当时，选方案一或方案二；

当（缺不扣分）时，选方案一．

【例4】（浙江宁波）

（1）．（2）相等，比值为．

（3）设，

在矩形中，，

，，，

，

．

同理．

，，．

，，解得．即．

（4），．

【学力训练】

1、（山东聊城）（1）设正方形的边长为cm，则

图1图2．

图1

图2

即．

解得（不合题意，舍去），．

剪去的正方形的边长为1cm．

（注：通过观察、验证直接写出正确结果给3分）

（2）有侧面积最大的情况．

设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2，

则与的函数关系式为：

．

即．

改写为．

当时，．

即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积

最大为40.5cm2．

（3）有侧面积最大的情况．

设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2．

若按图1所示的方法剪折，则与的函数关系式为：

．

即．

当时，．

若按图2所示的方法剪折，则与的函数关系式为：

．

即．

当时，．

比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm2．

541

5

4

1

2

3

（1）如图所示，，，

∴．又，

∴．

（2），∴∠D1FO=60°．

，∴．

又，，∴．

，∴．

又，∴．

在中，．

（3）点在内部．

理由如下：设（或延长线）交于点P，则．

在中，，

，即，∴点在内部．

3、（江苏盐城）（1）①CF与BD位置关系是垂直、数量关系是相等；

②当点D在BC的延长线上时=1\*GB3①的结论仍成立．

图丁由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90o．

图丁

∵∠BAC=90o，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC，

又AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD

∠ACF=∠ABD．

∵∠BAC=90o，AB=AC，∴∠ABC=45o，∴∠ACF=45o，

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90o．即CF⊥BD

（2）画图正确

当∠BCA=45o时，CF⊥BD（如图丁）．

理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG

可证：△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45o

∠BCF=∠ACB+∠ACF=90o．即CF⊥BD

图戊（3）当具备∠BCA=45o时，

图戊

过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q，（如图戊）

∵DE与CF交于点P时，∴此时点D位于线段CQ上，

∵∠BCA=45o，可求出AQ=CQ=4．设CD=x，∴DQ=4—x，

容易说明△AQD∽△DCP，∴，∴，

．

∵0＜x≤3∴当x=2时，CP有最大值1

ABCODEFM

A

B

C

O

D

E

F

M

N

（如图①）

设正方形的边长为，

∴，或（舍去）．

（2）．

．

（3）①当0≤＜4时，重叠部分为三角形，如图①．

可得△∽△，

ABCODEF（如图②）

A

B

C

O

D

E

F

（如图②）

∴．

②当4≤＜6时，重叠部分为直角梯形，如图②．

．

③当6≤＜8时，重叠部分为五边形，如图③．

ABCODE

A

B

C

O

D

E

F

M

（如图③）

=．

④当8≤＜10时，重叠部分为五边形，如图④．

=．

⑤当10≤≤14时，重叠部分为矩形，如图⑤．

ABC

A

B

C

O

D

E

F

（如图⑤）

A

A

O

B

C

D

E

F

M

（如图④）

O

O