高考数学易错题专题07 平面向量（3大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）.docxVIP

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专题07平面向量

易错点一：注意零向量书写及三角形与平行四边形适用前提（平面向量线性运算）

1．向量的有关概念

（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．

（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．

（3）特殊向量：

①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．

②单位向量：长度等于1个单位的向量．

③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行．

④相等向量：长度相等且方向相同的向量．

⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．

2．向量的线性运算和向量共线定理

（1）向量的线性运算

运算

定义

法则（或几何意义）

运算律

加法

求两个向量和的运算

三角形法则平行四边形法则

①交换律

②结合律

减法

求与的相反向量的和的运算叫做与的差

三角形法则

数乘

求实数与向量的积的运算

（1）

（2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同；

当时，

共线向量定理

向量与共线，当且仅当有唯一的一个实数，使得.

共线向量定理的主要应用：

(1)证明向量共线：对于非零向量，，若存在实数，使，则与共线．

(2)证明三点共线：若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线．

(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．

平面向量线性运算问题的求解策略：

(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．

(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．

(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：

①观察各向量的位置；

②寻找相应的三角形或多边形；

③运用法则找关系；

④化简结果.

解决向量的概念问题应关注以下七点：

(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．

(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．

(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．

(4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．

(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．

(6)非零向量与的关系：是方向上的单位向量．

(7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小

易错提醒：（1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0．

（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．

（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．

（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，.

例．如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（????）

????

A． B．

C． D．

【详解】对于A，根据平面向量加法的平行四边形法则，则，故A正确；

对于B，在平行四边形中，，则，故B错误；

对于C，，故C正确；

对于D，在平行四边形中，，

，故D正确.故选：ACD.

变式1：给出下列命题，其中正确的命题为（）

A．若，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段

B．若，则可知

C．若Q为的重心，则

D．非零向量，，满足与，与，与都是共面向量，则，，必共面

【详解】在平行四边形ABDC中，满足，但不满足A与C重合，B与D重合，AB与CD不为同一线段，A不正确.

因为，所以，所以，所以，所以，即，B正确.

若Q为的重心，则，所以，所以，即，C正确.

在三棱柱中，令，，，满足与，与，与都是共面向量，但，，不共面，D不正确.故选：BC.

变式2：如图所示，在平行四边形ABCD中，，，．

??

(1)试用向量来表示;

(2)AM交DN于O点，求的值．

【详解】（1）因为，所以，所以，

因为，所以，

所以；

（2）设，

则，

因为三点共线，所以存在实数使，

由于向量不共线，则，，解得，

所以.

变式3：如图所示，在矩形中，，，设，，，求.

??

【详解】解：在矩形中，，，

则，

因为，，，

则，

因此，.

1．已知、为不共线的向量，，，，则（????）

A．三点共线 B．三点共线

C．三点共线 D．三点共线

【答案】C

【分析】根据平面向量共线定理及基本定理判断即可.

【详解】因为、为不共线的向量，所以、