高中数学（人教A版）选修1-1教案.doc

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§2．2．1双曲线的及其标准方程

【学情分析】：

学生已经学过椭圆，了解椭圆的定义，经历了根据椭圆的特征，建立适当的坐标系，能较熟练求椭圆的方程，也了解椭圆的简单的几何性质并能解决与椭圆的几何性质有关的问题。

本节课将通过学生的自主探究、总结来进行教学。

【教学目标】：

知识与技能

使学生掌握双曲线的定义、标准方程

2、掌握焦点、焦点位置、焦距与方程关系，会求双曲线的标准方程；

过程与方法

理解双曲线标准方程的推导过程；

认识双曲线的变化规律及与其系数之间的关系；

情感态度与价值观

通过运用双曲线标准方程解决一些实际问题，使学生充分认识数学的价值，习惯用数学的眼光解决生活中的数学问题。

【教学重点】：

双曲线的定义、标准方程

【教学难点】：

双曲线标准方程的推导过程

【课前准备】：

课件

【教学过程设计】：

教学环节

教学活动

设计意图

一．复习、引入

1、椭圆的定义是什么？

2、到两个定义距离之差是一个定长的点的轨迹是什么呢？

通过复习引入，有利于学生在已有知识基础上开展学习；提出新问题，引发学习兴趣。

二．实验

1、如图2.2.1,取一条拉链进行实验，让学生观察点M的轨迹。

2、问题：点M所满足的几何条件是什么？

通过实验引导学生探究，整理实验，归纳抽象成数学问题。

三．双曲线的定义的讲解

1、投影：双曲线的定义：

平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距（一般用2c表示）

常数一般用2表示。

（讲解定义时要注意条件：）

2、探索思考：若没有该条件所表示的图形会是怎样的？

3、讨论：椭圆定义与双曲线定义有什么异同？

1、明确双曲线的定义。抓住几个不变：两个定点；一个常数。

2、通过对限制条件的探究，加深学生概念的理解。

3、在与椭圆的对比中建立有关双曲线的知识结构。

四．双曲线标准方程的推导

1．提问：我们是如何建立坐标系求椭圆的标准方程的？

探索：仿照求椭圆标准方程的方法，求双曲线的标准方程。

2.引导学生推导双曲线的标准方程

3.教师让学生板演双曲线的标准方程的推导过程，得到：

4.类比椭圆的标准方程，令得双曲线的标准方程：

（）

说明：此方程表示的双曲线焦点在x轴上，焦点是F1（－c，0）、F2（c，0），其中c2=a2＋b2.

5.问题：椭圆的标准方程有两种，双曲线是否也有两种呢？进一步得到：当焦点在y轴时，

（）

说明：此方程表示的双曲线焦点在y轴上，焦点是F1（0，－c），F2（0，c），其中c2=a2＋b2.

1.充分利用学生学习椭圆的学习经验提高学生学习双曲线的学习效率

2．通过反复与椭圆进行类比，既加强与已有知识联系，又找出与旧知识的不同之处，做到“同化”与“顺应”。

五．例题

1．例1：已经双曲线两个焦点分别为、，双曲线上一点P到、距离差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程。

分析：本题为根据双曲线的定义求标准方程

解：设双曲线的标准方程为：（），

因为，故，

所以，

因此，双曲线的标准方程为：

由学生板演

练习：教科书练习

2．例2一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s.

（1）爆炸点应在什么样的曲线上？

（2）已知A、B两地相距800m，并且此时声速为340m/s，求曲线的方程.

解（1）由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上.

因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上.

（2）如图8—14，建立直角坐标系xOy，使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合.

设爆炸点P的坐标为（x,y），则

即2a=680,a=340.

又∴2c=800,c=400,b2=c2－a2=44400.

∵∴x0.

所求双曲线的方程为：

(x0).

思考1：该例表明，利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置.而现实生活中为了安全，我们最关心的则是爆炸点的准确位置，那么我们如何解决这个问题呢？

如果再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.

思考2：如果A、B两点同时听到爆炸声，说明爆炸点到A、B的距离相等，那么爆炸点应在