2024—2025学年北京师范大学附属实验中学高二上学期开学摸底测验数学试卷.docVIP

2024—2025学年北京师范大学附属实验中学高二上学期开学摸底测验数学试卷

一、单选题

(★★)1.已知角的终边经过点，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)2.若复数满足，则复平面内表示的点在（）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

(★★)3.的值为（）

A．

B．

C．

D．1

(★)4.在中，，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)5.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，则

(★★★)6.下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)7.将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于点对称，则的最小值为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)8.在中，已知，则下列说法正确的是（）

A．当时，是锐角三角形

B．当时，是直角三角形

C．当时，是钝角三角形

D．当时，是等腰三角形

(★★★)9.已知是非零向量，则“”是“对于任意的，都有成立”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(★★★)10.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：）的部分记录表.

时间

0:00

3:00

6:00

9:00

12:00

水深值

5.0

7.5

5.0

2.5

5.0

据分析，这个港口的水深值与时间的关系可近似的用三角函数来描述.试估计13：00的水深值为（）

A．3.75

B．5.83

C．6.25

D．6.67

二、填空题

(★)11.若，则________．

(★★)12.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若角的终边与单位圆交于点，则_____________.

(★★★)13.已知菱形的边长为，，，则_________________.

(★★★)14.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）．已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的高为2cm，则该圆柱的侧面积为__________，该陀螺的体积为__________．

(★★★★)15.在棱长为1的正方体中，，，分别为棱，，的中点，动点在平面内，且.给出下列四个结论：

①平面；

②点轨迹的长度为；

③存在点，使得直线平面；

④平面截正方体所得的截面面积为.

其中所有正确结论的序号是_________________.

三、解答题

(★★★)16.已知函数．

(1)求的值和的零点；

(2)求的单调递增区间．

(★★★)17.如图，在长方体中，，，为的中点．

(1)求证：平面；

(2)求证：平面平面；

(3)求点到平面的距离．

(★★)18.已知．

(1)求；

(2)若，求的最小值．

(★★★)19.在中，．

(1)求；

(2)若的面积是，求的最小值．

(★★★)20.如图1，在中，，，，，分别为，的中点．将沿折起到的位置，得到四棱锥，如图2．

(1)求证：；

(2)若M是线段上的点，平面与线段交于点N．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知．使点M唯一确定，并解答问题．

（ⅰ）求证：为的中点；

（ⅱ）求证：平面．

条件①；

条件②；

条件③．

注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分，如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

(★★★★)21.已知n维向量，给定，定义变换；选取，再选取一个实数x，对的坐标进行如下改变：若此时，则将同时加上x．其余坐标不变；若此时，则将及同时加上x，其余坐标不变．若a经过有限次变换（每次变换所取的i，x的值可能不同）后，最终得到的向量满