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数学分支之拓扑学

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拓扑学得由来

几何拓扑学是十九世纪形成得一门数学分支，它属于几何学得范畴。有关拓扑学得一些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现一些孤立得问题，后来在拓扑学得形成中占着重要得地位、

在数学上,关于哥尼斯堡七桥问题、多面体得欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史得重要问题。

哥尼斯堡(今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士得首都，普莱格尔河横贯其中、十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间得两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍,最后又回到原来得位置、这个问题看起来很简单有很有趣得问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样得走法,但谁也没有做到。看来要得到一个明确、理想得答案还不那么容易。

17３6年,有人带着这个问题找到了当时得大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特得方法给出了解答、欧拉把这个问题首先简化，她把两座小岛和河得两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间得连线、那么这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来、经过进一步得分析，欧拉得出结论——不可能每座桥都走一遍，最后回到原来得位置、并且给出了所有能够一笔画出来得图形所应具有得条件。这是拓扑学得“先声”、

在拓扑学得发展历史中,还有一个著名而且重要得关于多面体得定理也和欧拉有关。这个定理内容是：如果一个凸多面体得顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有这样得关系：f＋v—ｅ=２。

根据多面体得欧拉定理，可以得出这样一个有趣得事实:只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体、

著名得“四色问题”也是与拓扑学发展有关得问题、四色问题又称四色猜想,是世界近代三大数学难题之一。

四色猜想得提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学得弗南西斯、格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣得现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色,使得有共同边界得国家都被着上不同得颜色。

1８７２年，英国当时最著名得数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注得问题、世界上许多一流得数学家都纷纷参加了四色猜想得大会战。1878～1880年两年间,著名律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想得论文，宣布证明了四色定理。但后来数学家赫伍德以自己得精确计算指出肯普得证明是错误得、不久,泰勒得证明也被人们否定了、于是，人们开始认识到，这个貌似容易得题目，其实是一个可与费马猜想相媲美得难题。

进入20世纪以来,科学家们对四色猜想得证明基本上是按照肯普得想法在进行、电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话得出现,大大加快了对四色猜想证明得进程。197６年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学得两台不同得电子计算机上，用了1２0０个小时，作了１0０亿判断，终于完成了四色定理得证明、不过不少数学家并不满足于计算机取得得成就，她们认为应该有一种简捷明快得书面证明方法。

上面得几个例子所讲得都是一些和几何图形有关得问题，但这些问题又与传统得几何学不同，而是一些新得几何概念。这些就是“拓扑学”得先声、

什么是拓扑学?

拓扑学得英文名是Topｏｌoｇy，直译是地志学，也就是和研究地形、地貌相类似得有关学科。我国早期曾经翻译成“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一得连续变换群下得几何学,但是,这几种译名都不大好理解,1956年统一得《数学名词》把它确定为拓扑学，这是按音译过来得。

拓扑学是几何学得一个分支,但是这种几何学又和通常得平面几何、立体几何不同。通常得平面几何或立体几何研究得对象是点、线、面之间得位置关系以及它们得度量性质、拓扑学对于研究对象得长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。

举例来说，在通常得平面几何里,把平面上得一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是,在拓扑学里所研究得图形，在运动中无论它得大小或者形状都发生变化、在拓扑学里没有不能弯曲得元素，每一个图形得大小、形状都可以改变、例如，前面讲得欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题得时候，她画得图形就不考虑它得大小、形状,仅考虑点和线得个数。这些就是拓扑学思考问题得出发点。

拓扑性质有那些呢？首先我们介绍拓扑等价,这是比较容易理解得一个拓扑性质。

在拓扑学里不讨论两个图形全等得概念，但是讨论拓扑等价得概念。比如,尽管圆和方形、三角形得形状、大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形、左图得三样东西就是拓扑等价得，换句话讲,就是从拓扑学得角度看，它们是完全一样得。

在一个球面上任选一些点用不相交得线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成许多块。在拓扑变换下，点、线、块得数目仍和原来得数目一样，这就是