初中数学《一元二次方程的解法》十大题型含解析.docxVIP

一元二次方程的解法【十大题型】

【题型1直接开平方法解一元二次方程】

【题型2配方法解一元二次方程】

【题型3公式法解一元二次方程】

【题型4因式分解法解一元二次方程】

【题型5十字相乘法解一元二次方程】

【题型6用适当方法解一元二次方程】

【题型7用指定方法解一元二次方程】

【题型8用换元法解一元二次方程】

【题型9解含绝对值的一元二次方程】

【题型10配方法的应用】

知识点1：直接开平方法解一元二次方程

根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.

直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为x2=p(p≥0)

或

(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)

的形式；

②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.

【题型1直接开平方法解一元二次方程】

1(23-24九年级上·广东深圳·期中)将方程(2x-1)2=9的两边同时开平方，

得2x-1=

即2x-1=

所以x1=

，

或2x-1=

，

，x2=

±3

．

【答案】

3

-3

2

-1

【分析】依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可

【详解】∵(2x-1)2=9

∴2x-1=±3

∴2x-1=3，2x-1=-3

∴x=2，x=-1

1

2

【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键

2(23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习)用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为

(

)

A.x2+9=0

【答案】A

B.-2x2=0

C.x2-3=0

D.(x-2)2=0

1

【分析】根据负数没有平方根即可求出答案．

【详解】解：(A)移项可得x2=-9，故选项无解；

(B)-2x2=0，即x2=0，故选项B有解；

(C)移项可得x2=3，故选项C有解；

A

(D)x-22=0，故选项D有解；

?

?

故选A．

【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．

3(23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习)如果关于x的一元二次方程?x-52?=m-7

可以用直接开平

方求解，则m的取值范围是

【答案】m≥7

．

【分析】根据平方的非负性得出不等式，求出不等式的解集即可．

【详解】解：∵方程?x-5?

2=m-7

可以用直接开平方求解，

∴m-7≥0，

解得：m≥7，

故答案为：m≥7．

【点睛】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式，能得出关于m的不程是解此题的关键．

4(23-24九年级上·河南南阳·阶段练习)小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程

xx+4=6．

?

?

解：原方程可变形，得：??x+2?-2???x+2?+2?=6．?x+22?-22=6，?x+22?=10．直接开平方并整理，得．

x=-2+10，x=-2-10．

1

2

我们称小明这种解法为“平均数法”

(1)下面是小明用“平均数法”解方程x+5x+9=5时写的解题过程．

?

??

?

，??．直接开平方并整理，

解：原方程可变形，得：??x+a?-b???x+a?+b?=5．?x+a2?-b2=5∴x+a2=5+b2

得．x=c，x=d．

1

2

上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为______，______，______，______．

(2)请用“平均数法”解方程：x-5x+7=12．

?

??

?

【答案】(1)7，2，-4，-10．

(2)x=-1+43，x=-1-43．

1

2

【分析】(1)仿照平均数法可把原方程化为??x+7?-2???x+7?+2?=5，可得?x+72?=9，再解方程即可；

(2)仿照平均数法可把原方程化为??x+1?-6x+1+6=12，可得x+12=48，再解方程即可；

???

?

?

?

?

【详解】(1)解：∵?x+5??x+9?=5，

??x+7?-2x+7+2=5，

∴

???

?

?

∴x+72-4=5，

?

?

∴x+72=9，

?

?

∴x+7=3或x+7=-3，

2

解得：x=-4，x=-10．

1

2

∴上述过程中的a、b