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等差数列经典题型

1、在等差数列{an}中，已知d=2，an=11，Sn=35，求a1

和n。

根据等差数列求和公式Sn=n*(a1+an)/2，代入已知条

件可得：

35=n*(a1+11)/2

2*a1+20=n*(a1+11)

2*a1=n*(11-2)-20

a1=(9n-20)/2

又因为an=a1+(n-1)*d，代入已知条件可得：

11=a1+(n-1)*2

11=(9n-20)/2+2n-2

n=7

将n代入a1的公式可得：

a1=3

因此，a1=3，n=7.

2、设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知

S7=7，S15=75，Tn为数列{an}的前n项和，求Tn。

由等差数列求和公式可得：

S7=7*(a1+a7)/2

S15=15*(a1+a15)/2

Tn=n*(a1+an)/2

将S7和S15带入可得：

a1+a7=2

a1+a15=10

将a1+a7=2代入Tn的公式可得：

T7=7*(2a1+6d)/2=7a1+21d

将a1+a15=10代入Tn的公式可得：

T15=15*(2a1+14d)/2=15a1+105d

将T7和T15带入可得：

T7=7a1+21d=S7=7

T15=15a1+105d=S15=75

解得：

a1=-1，d=2

将a1和d代入Tn的公式可得：

Tn=n*(-1+(n-1)*2)/2=n^2-n

因此，Tn=n^2-n。

3、已知等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为

100，求数列{an}的前3m项的和S3m。

设数列{an}的公差为d，代入已知条件可得：

m*(2a1+(m-1)*d)/2=30

2m*(2a1+(2m-1)*d)/2=100

解得：

a1=3-m*d

d=20/(3m^2-2m)

将a1和d代入S3m的公式可得：

S3m=3m*(6-3m*d+3m*(3m-1)*d/2)/2

9m^2-3m

因此，S3m=9m^2-3m。

4、现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要

使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为。

假设正三角形垛的边长为n，则可以得到以下不等式：

1+2+。+n=2001+2+。+(n+1)

解得：

n=19

因此，正三角形垛的边长为19，剩余钢管的根数为200-

1-2-。-19=29.

5、等差数列{an}中，S10=4S5，则d等于。

根据等差数列求和公式可得：

S10=10*(a1+a10)/2

S5=5*(a1+a5)/2

代入已知条件可得：

10*(a1+a10)=4*5*(a1+a5)

a10-a5=6a1/5

又因为an=a1+(n-1)*d，代入可得：

a10=a1+9d

a5=a1+4d

代入a10-a5=6a1/5可得：

5d=6a1/25

代入an=a1+(n-1)*d可得：

a10=a1+9