2024—2025学年湖南省衡阳市衡阳县第二中学高三上学期开学摸底考试数学试卷.docVIP

2024—2025学年湖南省衡阳市衡阳县第二中学高三上学期开学摸底考试数学试卷

一、单选题

(★★)1.设全集，集合，，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)2.在中，为的重心，满足，则（）

A．

B．

C．0

D．

(★★★)3.第14届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行，如图是本次大会的会标，会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是，正是会议计划召开的年份，那么八进制数换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是（）

A．1

B．3

C．5

D．7

(★★★)4.已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得到的函数的图象关于原点对称，则的值可能为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)5.已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点P，使得过点P所作的圆的两条切线，切点为A，B，且，则双曲线的离心率的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)6.已知函数的图象在点处的切线方程为.若函数至少有两个不同的零点，则实数b的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)7.已知A，B，C，D四点都在表面积为的球O的表面上，若球O的直径，且，则三棱锥体积的最大值为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★)8.已知函数，则不等式的解集为（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

(★★)9.下面四个命题中的真命题为（）

A．若复数满足，则

B．若复数满足，则

C．若复数，满足，则

D．若复数，则

(★★★★)10.已知函数与的定义域均为，，，且，为偶函数，则下列选项正确的是（）

A．函数的图象关于对称

B．

C．

D．

(★★)11.已知抛物线过点，则（）

A．拋物线的标准方程可能为

B．挞物线的标准方程可能为

C．过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条

D．过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条

三、填空题

(★★★)12.在的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于_____.

(★★★)13.已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为____________.

(★★)14.某同学次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为，，，，.已知这组数据的平均数为，标准差为，则的值为____________.

四、解答题

(★★)15.为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物试验，根据40个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表：

(1)补全下面的列联表（单位：只）；

药物

疾病B

合计

未患病

患病

未服用

7

服用

8

19

合计

(2)依据的独立性检验，分析药物对预防疾病的有效性.

参考公式：，其中.

参考附表：

0.100

0.050

0.025

2.706

3.841

5.024

(★★)16.如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点，点在线段上，且.

(1)证明：平面.

(2)求二面角的正弦值.

(★★★)17.在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，，．

(1)求椭圆的方程；

(2)不过点的直线交椭圆于、两点，记直线、、的斜率分别为、、.若，证明直线过定点，并求出定点的坐标．

(★★★)18.已知函数，.

(1)讨论的单调性并求极值.

(2)设函数（为的导函数），若函数在内有两个不同的零点，求实数的取值范围.

(★★★)19.已知函数（，）在一个周期内的图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．

(1)求的单调递增区间；

(2)在中，若，，，求．