专题02 三角形中的三种几何最值模型（解析版）.pdf

专题02三角形中的三种几何最值模型

类型一、将军饮马模型

①一动两定

②两动一定

例1．如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB=8，M，N是直线BC上的动点，且MN=2，则

OM+ON的最小值是____________．

【答案】

217

【详解】解：过O作OH∥BC，且令OH=2，连接NH，作O点关于BC的对称点K，连接OK，KH，

∵OH∥BC，OH=MN=2，

∴四边形OMNH是平行四边形，

∴OM=NH，

∴OM+ON=NH+ON．

∵O点关于BC的对称点是点K，

∴ON=NK，

∴OM+ON=NH+ON=NH+NK，

∵NH+NK³HK，

∴当H、N、K三点共线的时候，OM+ON有最小值，最小值为HK的长．

∵OH∥BC，O点关于BC的对称点是点K，

∴ÐKOH=90°．

∵O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，O点关于BC的对称点是点K，∴OK=AB=8．

∵OH=2，ÐKOH=90°，

∴HK=OH2+OK2=217，

∴OM+ON的最小值是217．

343

2.xOyAA1

例如图，平面直角坐标系中，点是直线y=x+上一动点，将点向右平移个单位得到点

33

BC(1,0)OB+CB________.

，点，则的最小值为

【答案】13

343

D-10DEOEA

【详解】解：设（，），作点关于直线y=x+的对称点，连接，交直线于，连接

33

ADEDESxS

，，作⊥轴于，

∵AB∥DC，且AB=OD=OC=1，

∴四边形ABOD和四边形ABCO是平行四边形，

∴AD=OB，OA=BC，

∴AD+OA=OB+BC，

∵AE=AD，

∴AE+OA=OB+BC，

即OE=OB+BC，

∴OB+CB的最小值为OE，

343

AFO=30°F-40

由y=x+可知∠，（，），

33

∴FD=3，∠FDG=60°，

13

DG=DF=DE=2DG=3

∴，∴，

22

333135

ES=DE=DS=DE=OS=OE=22

∴，，∴，∴OS+ES=13，

22222

OB+CB.

∴的最小值为13

例3．在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q

均不与顶点重合），PQ＝2

(1)如图①，若点E为CD边上的中点