弹性力学材料模型：各向异性材料的疲劳与断裂技术教程.pdf

弹性力学材料模型：各向异性材料的疲劳与断裂技术教程

1弹性力学基础

1.11弹性力学基本概念

弹性力学是研究弹性体在外力作用下变形和应力分布的学科。弹性体是指

在外力作用下能够产生变形，当外力去除后，能够恢复原状的物体。在弹性力

学中，我们关注的是材料的弹性行为，即在一定范围内，材料的变形与作用力

成线性关系。

1.1.1弹性模量

弹性模量是描述材料弹性性质的重要参数，包括杨氏模量（E）、剪切模量

（G）和体积模量（K）。杨氏模量是材料在拉伸或压缩时，应力与应变的比值，

反映了材料抵抗拉伸或压缩变形的能力。

1.1.2泊松比

泊松比（ν）是横向应变与纵向应变的绝对值比，描述了材料在受力时横

向收缩与纵向伸长的关系。

1.22应力与应变分析

1.2.1应力

应力（σ）是单位面积上的内力，分为正应力和剪应力。正应力是垂直于

截面的应力，剪应力是平行于截面的应力。

1.2.2应变

应变（ε）是材料变形的程度，分为线应变和剪应变。线应变是长度变化

与原长的比值，剪应变是角度变化的正切值。

1.2.3应力应变关系

在弹性范围内，应力与应变之间遵循胡克定律，即应力与应变成正比，比

例系数为弹性模量。

#示例：计算正应力

defcalculate_normal_stress(force,area):

1

计算正应力

:paramforce:作用力(N)

:paramarea:截面积(m^2)

:return:正应力(Pa)

stress=force/area

returnstress

#示例数据

force=1000#作用力为1000N

area=0.01#截面积为0.01m^2

#计算正应力

normal_stress=calculate_normal_stress(force,area)

print(f正应力为：{normal_stress}Pa)

1.33弹性方程与边界条件

1.3.1弹性方程

弹性方程是描述弹性体内部应力与应变关系的微分方程，通常包括平衡方

程、几何方程和物理方程。平衡方程描述了力的平衡条件，几何方程描述了应

变与位移的关系，物理方程描述了应力与应变的关系。

1.3.2边界条件

边界条件是指在弹性体边界上施加的约束条件，包括位移边界条件和应力

边界条件。位移边界条件规定了边界上的位移，应力边界条件规定了边界上的

应力。

1.3.3解弹性方程

解弹性方程通常需要数值方法，如有限元法（FEM）。有限元法将弹性体离

散为多个小单元，然后在每个单元上应用弹性方程和边界条件，通过求解线性

方程组得到整个弹性体的应力和应变分布。

#示例：使用有限元法求解弹性方程

importnumpyasnp

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

fromscipy.sparseimportcsc_matrix

defsolve_elastic_equation(K,F,U_bc,F_bc):

使用有限元法求解弹性方程

2

:paramK:刚度矩阵

:paramF:载荷向量

:paramU_bc:位移边界条件

:paramF_bc:应力边界条件

:return:位移向量

#应用边界条件

K_bc=K[U_bc,:][:,U_bc]

F_bc=F[U_bc]-K[U_bc,F_bc]*F_bc

#求解线性方程组

U_bc_solution=spsolve(csc_matrix(K_bc),F_bc)

#构建完整位移向量

U=np.zeros_like(F)

U[U_bc]=U_bc_solution

U[F_bc]=0#应力边界条件下的位移为0

returnU

#示例数据

K=np.array([[4,1],[1,3]])#刚度矩阵

F=np.array([10,15])#载荷向量

U_bc=np.array([0,1])#位移边界条件的自由度

F_bc=np.ar