专题02 线圆最值（专项训练）（解析版）.pdfVIP

专题02线圆最值（专项训练）

1.（2021秋•思明区校级期中）如图，在△ABC中，BC＝2，点A为动点，在点A

运动的过程中始终有∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值为．

【解答】解：如图，△ABC的外接圆⊙O，连接OB、OC，

∵∠BAC＝45°，

∴∠BOC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，

过点O作OD⊥BC，垂足为D，

∵OB＝OC，

∴BD＝CD＝BC＝1，

∵∠BOC＝90°，OD⊥BC，

∴OD＝BC＝1，

∴OB＝＝，

∵BC＝2保持不变，

∴BC边上的高越大，则△ABC的面积越大，当高过圆心时，最大，

此时BC边上的高为：+1，

∴△ABC的最大面积是：×2×（+1）＝+1．

故答案为：+1．

2.（2022•邗江区校级开学）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，点P

是AB边上的一个动点，以BP为直径的圆交CP于点Q，若线段AQ长度的

最小值是4，则△ABC的面积为．

【解答】解：如图，取BC的中点T，连接AT，QT，BQ．

∵PB是⊙O的直径，

∴∠PQB＝∠CQB＝90°，

∴QT＝BC＝定值，AT是定值，

∵AQ≥AT﹣TQ，

∴当A，Q，T共线时，AQ的值最小，设BT＝TQ＝x，

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在Rt△ABT中，则有（4+x）＝x+8，

解得x＝6，

∴BC＝2x＝12，

∴S△ABC＝AB•BC＝×8×12＝48，

故答案为：48．

3．（2022•观山湖区一模）如图，点P是正六边形ABCDEF内一点，AB＝4，

当∠APB＝90°时，连接PD，则线段PD的最小值是（）

A．B．C．6D．

【解答】解：∵AB＝4，∠APB＝90°，

∴点P在以AB为直径的圆弧上，

如图，取AB的中点O，连接OD，当O、P、D三点共线时，PD有最小值，

连接BD，过点C作CH⊥BD于点H，

∵点O为AB的中点，

∴OA＝OB＝OP＝4÷2＝2，

∵正六边形的每个内角为180°×（6﹣2）÷6＝120°，

∵CD＝CB，

∴∠CBD＝（180°﹣120°）÷2＝30°，BD＝2BH，

∴∠OBD＝120°﹣30°＝90°，

在Rt△CBH中，CH＝＝2，BH＝，

∴BD＝，

在Rt△OBD中，OD＝＝，

∴PD的最小值为OD﹣OP＝．

故选：B．

4．（2019•安徽一模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝3，点D

是BC边上一动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E．则线段BE长度的

最小值为（）

A．1B．C．D．

【解答】解：如图，作以AC为直径的圆，圆心为O

∵E点在以CD为直径的圆上

∴∠CED＝90°

∴∠AEC＝180°﹣∠CED＝90°

∴点E也在以AC为直径的圆上，

可得当O、E、B三点共线时，BE是最短，

∵AC＝8，

∴OC＝4

∵BC＝3，∠ACB＝90°

∴OB＝＝＝5

∵OE＝OC＝4

∴BE＝OB