专题02 相似三角形重要模型-母子型（共边共角模型）（原卷版）.pdfVIP

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专题相似三角形重要模型母子型（共边共角模型）

相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，

是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入

理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。

母子相似证明题一般思路方法:

①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；

②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；

③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；

④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。

模型1.“母子”模型(共边角模型)

【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形

寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成

比例就可以判定这两个三角形相似．

图1图2图3

1）“母子”模型（斜射影模型）

条件：如图1，∠C=∠ABD；结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.

2）双垂直模型（射影模型）

o

条件:如图2，∠ACB=90，CD⊥AB；

222

结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA＝AD·AB，BC＝BD·BA，CD＝DA·DB.

3）“母子”模型（变形）

条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC；结论：△ABD∽△ECA；

12022··VABCABÐB=ÐACDAC:AB=1:2

例．（贵州贵阳中考真题）如图，在中，D是边上的点，，，

则VADC与△ACB的周长比是（）

A．1:2B．1:2C．1:3D．1:4

22023··Rt△ABC∠ACB90°CD⊥ABDAD

例．（广东九年级课时练习）如图，在中，＝，于点，已知＝

94

,BD=

_______

，那么BC＝．

55

例3.（2022.山西九年级期中）如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：

2

（1）△ACP∽△PDB，（2）CD＝AC•BD．

ADAC

42022··Rt△ABC∠ACB90°DAB

例．（浙江九年级期中）如图，在中，＝，点在上，且＝．

ACAB

（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．

52022.VABC∠ACB90°CD⊥AB

例．（浙江中考模拟）如