弹性力学基础：弹性势能：弹性体的应力分析.pdfVIP

弹性力学基础：弹性势能：弹性体的应力分析

1弹性力学基础：弹性势能：弹性体的应力分析

1.1绪论

1.1.1弹性力学的基本概念

弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和

应力分布。弹性体是指在外力作用下能够产生变形，当外力去除后能够恢复原

状的物体。弹性力学的基本概念包括：

应力（Stress）：单位面积上的内力，通常用σ表示，分为正应力

和切应力。

应变（Strain）：物体在外力作用下产生的变形程度，通常用ε表

示，分为线应变和切应变。

弹性模量（ElasticModulus）：描述材料弹性性质的物理量，包括

杨氏模量（Young’sModulus）、剪切模量（ShearModulus）和体积模量

（BulkModulus）。

泊松比（Poisson’sRatio）：横向应变与纵向应变的比值，反映了

材料在受力时横向收缩的程度。

1.1.2弹性体的分类与特性

弹性体根据其形状、尺寸和材料特性可以分为不同的类型，主要包括：

一维弹性体：如杆、轴等，主要研究轴向应力和应变。

二维弹性体：如板、壳等，主要研究平面应力和平面应变。

三维弹性体：如块体、结构件等，研究空间应力和应变。

弹性体的特性包括：

线弹性：应力与应变成线性关系，遵循胡克定律。

非线性弹性：应力与应变关系非线性，常见于高应力状态下的材

料。

各向同性：材料在各个方向上的弹性性质相同。

各向异性：材料在不同方向上的弹性性质不同，如复合材料。

1.2弹性势能

1.2.1弹性势能的定义

弹性势能是指弹性体在外力作用下变形时储存的能量。当外力去除，弹性

体恢复原状时，这部分能量会被释放出来。弹性势能的计算通常基于胡克定律，

1

即应力与应变成正比。

1.2.2弹性势能的计算

对于一维弹性体，弹性势能可以通过以下公式计算：

1

=2

2

其中，是弹性系数，是变形量。对于三维弹性体，弹性势能的计算更为

复杂，涉及到应力张量和应变张量的计算。

1.2.3示例：计算一维弹性体的弹性势能

假设有一根弹簧，其弹性系数=100在外力作用下伸长了0.5计

算其弹性势能。

#定义弹性系数和变形量

k=100#弹性系数，单位：N/m

x=0.5#变形量，单位：m

#计算弹性势能

U=0.5*k*x**2

#输出结果

print(f弹性势能为：{U}J)

1.3弹性体的应力分析

1.3.1应力分析的基本方法

应力分析的基本方法包括解析法和数值法。解析法通常基于弹性力学的基

本方程，如平衡方程、几何方程和物理方程，适用于简单几何形状和边界条件

的弹性体。数值法，如有限元法（FiniteElementMethod,FEM），适用于复杂几

何形状和边界条件的弹性体。

1.3.2应力分析的步骤

1.确定边界条件：包括固定边界、自由边界、应力边界和位移边界。

2.建立力学模型：根据弹性体的几何形状和材料特性，建立相应的

力学模型。

3.求解应力和应变：通过解析法或数值法求解弹性体内部的应力和

应变分布。

4.分析结果：对求解得到的应力和应变分布进行分析，评估弹性体

的承载能力和安全性。

2

1.3.3示例：使用有限元法进行应力分析

假设有一个简单的二维弹性体，我们使用有限元法对其进行应力分析。这

里我们使用Python的FEniCS库进