第3章-时域分析法.ppt

（2）振荡次数N。振荡次数N指系统响应在调整时间ts内，输出响应的振荡次数，即在ts时间内系统响应穿越稳态值次数的一半。若阶跃响应的有阻尼振荡频率为?d，即周期为Td，根据定义有（3-26）可见，振荡次数仅与阻尼比??有关，??越小，N越大，振荡越厉害。综上所述，欲使二阶系统达到满意的性能指标，必须选择合适的??和?n。增大??可以减弱系统的振荡性能，提高相对稳定性，从而降低最大超调量和振荡次数；提高?n可以加快系统响应的快速性。但一般来讲，系统的相对稳定性与系统的快速性之间是存在矛盾的。为了既兼顾系统的快速性，又兼顾系统的稳定性，只能采取折衷的办法，一般工程设计时采用所谓的“二阶最佳系统”，即取?=0.707，这时?p%＜5%，ts也接近最小值，系统具有比较理想的响应过程。3.5线性定常系统的稳定性3.5.1稳定性定义稳定性是指控制系统在受到扰动信号作用，原有平衡状态被破坏后，经过自动调节能够重新达到平衡状态的性能。当系统在扰动信号作用（如电网电压波动、电动机负载转矩变化等）下偏离了原来的平衡状态时，若系统能通过自身的调节作用使偏差逐渐减小，重新回到平衡状态，则系统是稳定的；若偏差不断增加，即使扰动消失，系统也不能回到平衡状态，则这种系统是不稳定的，如图3-15所示。图3-15稳定系统与不稳定系统3.5.2稳定的条件由系统输出的两个分量的概念可知：系统输出由稳态分量和暂态分量组成。稳态分量取决于输入控制信号，暂态分量取决于闭环传递函数。控制系统要求其输出量总是跟随输入量的变化，也就是要求系统进入稳态以后，系统的暂态分量逐渐衰减到零。暂态分量的变化主要取决于系统闭环传递函数的极点，由一阶系统和二阶系统的分析可知以下几点。（1）若传递函数的极点是负实数，则暂态响应是收敛的，它按指数规律逐渐减小并趋于零；反之，若传递函数的极点是正实数，则暂态响应是发散的，它按指数曲线规律增长。（2）若传递函数的极点是一对共轭虚数，则暂态响应是等幅振荡的，处于临界稳定状态。（由于在临界稳定状态下系统输出响应曲线无法跟随输入控制信号变化，因而工程上认为临界稳定状态也是不稳定状态。）（3）若传递函数的极点为一对共轭复数，当实部为负时，则暂态响应是收敛的，其振幅按指数规律逐渐衰减并趋于零；相反，当实部为正时，暂态响应是发散的，振幅按指数规律逐渐增大。（4）若传递函数极点为零，则响应为一阶跃信号。传递函数极点分布及其响应曲线和稳定性的关系如表3-1所示。表3-1 传递函数极点分布及其响应曲线和稳定性的关系不稳定复数6不稳定实数5零极图右半平面临界稳定虚数4零极图虚轴临界稳定实数3零极图原点稳定复数2稳定实数1零极图左半平面稳定性系统的运动过程极点在零极图上的位置极点性质3.5.3稳定的判断依据控制系统稳定的条件是其特征根均需具有负实部，因此判别系统稳定与否，就变成求解特征方程（一般是高次代数方程）的解并校验其特征根是否都具有负实部的问题。但是当实际系统阶次高于4时，一般情况下，求解其特征方程将会遇到较大的困难。因此，通过直接求解特征方程，并按求得的特征根分析系统稳定性的方法是很不方便的。于是便提出这样一个问题，能否不用直接求特征根的方法，而采用根据特征方程式（即高次代数方程）根与系数的关系去判别系统的特征根是否全部具有负实部的间接方法来分析控制系统的稳定性。回答是肯定的。本节介绍的劳斯稳定判断依据就是这样一种毋须求解特征方程，而通过特征方程的系数分析控制系统稳定性的间接方法。设闭环系统传递函数特征方程为D(s)=ansn+an?1sn?1+an?2sn?2+…+a1s+a0 （3-27） =an(s?s1)(s?s2)…(s?sn)=0劳斯稳定判断依据的必要条件是系统闭环传递函数特征方程的各项系数均大于零。凡不满足此条件的，系统必然不稳定。式（3-27）中si(i=1,2,3,…,n)为系统特征根。基于根与系数的关系，可以得到（3-28）从式（3-28）可以求得控制系统的全部特征根si(i=1,2,…,n)，具有负实部的必要条件（即系统稳定的必要条件）是：①方程式（3-27）的全体系数ai(i=1,2,…,n)都不等于零；②方程式（3-27）的全体系数ai(i=1,2,…,n)都必须具有相同的符号。如果控制系统的特征方程式不能同时满足由上述两个条件构成的系统稳定的必要条件，那么可立即断定系统是不稳定的。【例3-1】已知系统的特征方程式为s3+s2?4s?4=0，试判断系统的稳定性。解：