高一数学人教A版必修四教案：2.2.3 向量数乘运算及其几何意义.pdf

2.2.3向量数乘运算及其几何意义

一、教学分析

向量的数乘运算,其实是加法运算的推广及简化,与加法、减法统称为向量的三大线性运算.

教学时从加法入手,引入数乘运算,充分展现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积,

仍然是一个向量,既有大小,也有方向.特别是方向与已知向量是共线向量,进而引出共线向量

定理.共线向量定理是本章节中重要的内容,应用相当广泛,且容易出错.尤其是定理的前提条

件:向量a是非零向量.共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质,且与后

续的知识有着紧密的联系.

二、教学目标

1、知识与技能：

通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；掌握共

线向量的充要条件。

2、过程与方法：

由几个向量的和得出向量数乘运算的含义，从特殊到一般，经历向量数乘概念的形成，探

究共线向量的充要条件，培养学生类比归纳的能力。

3、情感态度与价值观：

初步体会实数与向量的乘积的含义及其几何意义，形成归纳、猜想与论证的能力。

三、重点难点

教学重点:1.实数与向量积的意义.2.实数与向量积的运算律.3.两个向量共线的等价条件及其

运用.

教学难点:对向量共线的等价条件的理解运用.

四、教学设想

（一）导入新课

思路1.前面两节课,我们一起学习了向量加减法运算,这一节,我们将在加法运算基础上研究

相同向量和的简便计算及推广.在代数运算中,a+a+a=3a,故实数乘法可以看成是相同实数加

法的简便计算方法,那么相同向量的求和运算是否也有类似的简便计算.

思路2.一物体做匀速直线运动,一秒钟的位移对应的向量为a,那么在同一方向上3秒钟的位

移对应的向量怎样表示？是3a吗？怎样用图形表示？由此展开新课.

（二）推进新课、新知探究、提出问题

①已知非零向量a,试一试作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).

②你能对你的探究结果作出解释,并说明它们的几何意义吗?

③引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗?怎样理解两向量平

行？与两直线平行有什么异同？

活动:引导学生回顾相关知识并猜想结果,对于运算律的验证,点拨学生通过作图来进行.通过

学生的动手作图,让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义.教师要引导学生特别注意

0·a=0,而不是0·a=0.这个零向量是一个特殊的向量,它似乎很不起眼,但又处处存在,稍不注意

就会出错,所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系.实数与向量可以求

积,但是不能进行加、减运算,比如λ+a,λ-a都无法进行.向量数乘运算的运算律与实数乘法的

运算律很相似,只是数乘运算的分配律有两种不同的形式:(λ+μ)a=λa+μa和λ(a+b)=λa+λb,数乘

运算的关键是等式两边向量的模相等,方向相同.判断两个向量是否平行(共线),实际上就是看

能否找出一个实数,使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量.一定要切实理解两向量

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共线的条件,它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段.

对问题①,学生通过作图1可发现,OC=OA+AB+BC=a+a+a.类似数的乘法,可把a+a+a记

作3a,即OC=3a.显然3a的方向与a的方向相同,3a的长度是a的长度的3倍,即|3a|=3|a|.

同样,由图1可知,

图1

PN=PQQMMN=(-a)+(-a)+(-a),

即(-a)+(-a)+(-a)=3(-a).显然3(-a)的方向与a的方向相反,3(-a)的长度是a的长度的3倍,这

样,3(-a)=-3a.

对问题②,上述过程推广后即为实数与向量的积.

我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,它的长度与方

向规定如下:

(1)|λa|=|λ||a|;

(2)当λ0时,λa的方向与a的方向相同;当λ0时,λa的方向与a的方向相反.

由(1)可知,λ=0时,λa=0.

根据实数与向量的积的定义,我们可以验证下面的运算律.

实数与向量的积的运算律

设λ、μ为实数,那么

(1)λ(μa)=(λμ)a;

(2)(λ+μ)a=λa+μa;

(3)λ(a+b)=λa+