2024—2025学年福建省部分优质高中高二上学期入学质量检测数学试卷.docVIP

2024—2025学年福建省部分优质高中高二上学期入学质量检测数学试卷

一、单选题

(★)1.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为（）

A．

B．

C．

D．

(★)2.已知，是相互垂直的单位向量，则＝（）

A．1

B．2

C．3

D．4

(★★)3.如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)4.已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（）

A．或

B．或1

C．或2

D．

(★★★)5.如图所示，正方体的棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（）

A．直线与直线垂直

B．直线与平面平行

C．三棱锥的体积为

D．直线BC与平面所成的角为

(★★★)6.已知M，N分别是正四面体中棱AD，BC的中点，若点P满足则DP与AB夹角的余弦值为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★)7.如图，在棱长为2的正方体中，点分别在线段和上，则下列结论中错误的结论（）

A．的最小值为2

B．四面体的体积为

C．有且仅有一条直线与垂直

D．存在点，使为等边三角形

(★★★★★)8.在正四面体中，点E在棱AB上，满足，点F为线段AC上的动点，则（）

A．存在某个位置，使得

B．存在某个位置，使得

C．存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为

D．存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为

二、多选题

(★★)9.直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（）

A．若，则直线平面

B．若，则平面平面

C．若，则平面所成锐二面角的大小为

D．若，则直线与平面所成角的大小为

(★)10.下列说法错误的是（）

A．若是空间任意四点，则有

B．若，则存在唯一的实数，使得

C．若共线，则

D．对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面

(★★★★★)11.在棱长均为1的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法一定正确的有（）

A．当点为三角形的重心时，

B．当时，的最小值为

C．当点在平面内时，的最大值为2

D．当时，点到的距离的最小值为

三、填空题

(★★)12.已知空间向量，若，则实数________.

(★★★)13.平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，数学中我们经常会用到类比的方法，把平面向量推广到空间向量，利用空间向量表示空间点、直线、平面等基本元素，经过研究发现，平面向量中的加减法、数乘与数量积运算法则同样也适用于空间向量.在四棱锥中，已知是平行四边形，，且面，则向量在向量方向上的投影向量是____(结果用表示).

(★★★★)14.如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直．点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动．设，给出下列四个结论：

①存在点，使；

②存在点，使；

③到直线和的距离相等的点有无数个；

④若，则四面体体积的最大值为．

其中所有正确结论的序号是__________．

四、解答题

(★★)15.如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点，点在线段上，且.

(1)证明：平面.

(2)求二面角的正弦值.

(★★★)16.在长方体中，点E，F分别在，上，且，．

(1)求证：平面平面AEF；

(2)当，，求平面与平面的夹角的余弦值．

(★★★)17.如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，，平面平面.

(1)求证：平面；

(2)若，点在棱上，且二面角的大小为.

①求证：；

②设是直线上的点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.

(★★★★)18.《瀑布》（图1）是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲.此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2）

埃舍尔多面体可以用两两垂直且