2024—2025学年福建省福州市精师优质高中联盟高二上学期入学质量检测数学试卷.docVIP

2024—2025学年福建省福州市精师优质高中联盟高二上学期入学质量检测数学试卷

一、单选题

(★)1.已知，，且，则（）

A．1

B．2

C．3

D．4

(★)2.若点关于xOy的对称点为A，关于z轴的对称点为B，则A、B两点的对称是（）．

A．关于xOz平面对称

B．关于x轴对称

C．关于y轴对称

D．关于坐标原点对称

(★)3.若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（）

A．，，

B．，，

C．，，

D．，，

(★)4.如图，在直三棱柱中，所有棱长都相等，分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)5.平行六面体中.则=（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)6.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)7.如图，三棱柱中，分别为中点，过作三棱柱的截面交于，且，则的值为（）

A．

B．

C．

D．1

(★★★★★)8.数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一．该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形．将长方体的上底面绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体．已知，，，过直线作平面，则十面体外接球被平面所截的截面圆面积的最小值是（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

(★★)9.平面α经过三点，，，向量是平面α的法向量，则下列四个选项中正确的是（）

A．直线AB的一个方向向量为

B．线段AB的长度为3

C．平面α的法向量中

D．向量与向量夹角的余弦值为

(★★★)10.如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（）

A．异面直线与所成角为

B．平面

C．三棱锥的体积不变

D．直线与平面所成角正弦值的取值范围为

(★★★★★)11.在棱长为2的正方体中，为的中点，以为原点，OB，OD，OO1所在直线分别为轴、轴、轴，建立如何所示空间直角坐标系.若该正方体内一动点，满足，则（）

A．点的轨迹长为

B．的最小值为

C．

D．三棱锥体积的最小值为

三、填空题

(★★)12.已知，则______．

(★★★)13.如图所示，在长方体中，，，与平面交于点，则点到直线的距离为______．

(★★★★)14.在侧棱长为的正三棱锥中，点为线段上一点，且，点M为平面内的动点，且满足，记直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为_____________．

四、解答题

(★)15.如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，.

(1)以为基底表示；

(2)若，且，，，求.

(★★)16.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，．

(1)证明：平面平面．

(2)求二面角的余弦值．

(★★★)17.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为等边三角形，平面平面，．点在线段上．

(1)若，在上找一点，使得四点共面，并说明理由；

(2)求点到平面的距离；

(3)若直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．

(★★★★)18.如图1，直角梯形中，，，，，以为轴将梯形旋转后得到几何体W，如图2，其中，分别为上下底面直径，点P，Q分别在圆弧，上，直线平面.

(1)证明：平面平面；

(2)若直线与平面所成角的正切值等于，求P到平面的距离；

(3)若平面与平面夹角的余弦值，求．

(★★★)19.2024年8月7日，神舟十六号载人飞船顺利升空并于6.5小时后与天和核心舱成功对接，这是中国航天史上的又一里程碑.我校小林同学既是航天迷，又热爱数学，于是他为正在参加新学期入学质量检测的你们编就了这道题目，如图，是神舟十二号飞船推进舱及其推进器的简化示意图，半径相等的圆与圆柱底面相切于四点，且圆与与与与分别外切，线段为圆柱的母线.点为线段中点，点在线段上，且.已知圆柱，底面半径为.

(1)求证