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2024—2025学年广西柳州市柳城县中学等部分校联考高二上学期入学检测数学试卷
一、单选题
(★★)1.在复平面内,复数对应的点位于()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(★★)2.若是空间的一个基底,则下列向量不共面的为()
A.
B.
C.
D.
(★)3.已知一组数据为,则该组数据的方差为()
A.
B.
C.6
D.7
(★)4.已知的三个顶点分别为,且,则()
A.2
B.3
C.4
D.5
(★★)5.在正四棱柱中,,设,则()
A.2
B.
C.4
D.8
(★★★)6.在中,角的对边分别为,若,则()
A.6
B.4
C.3
D.2
(★★)7.已知向量的夹角为,且,则在方向上的投影向量为()
A.
B.
C.
D.
(★★★)8.现有7张分别标有的卡片,甲一次性从中随机抽取5张卡片,抽到的卡片数字之和为,剩下的2张卡片数字之和为,则的概率为()
A.
B.
C.
D.
二、多选题
(★★)9.若空间几何体的顶点数和空间几何体的顶点数之和为12,则和可能分别是()
A.三棱锥和四棱柱
B.四棱锥和三棱柱
C.四棱锥和四棱柱
D.五棱锥和三棱柱
(★★)10.已知复数,则()
A.
B.
C.的虚部为3
D.
(★★★)11.抛掷质地均匀的骰子两次,事件“第一次出现偶数点”,事件“第二次出现奇数点”,事件“两次都出现偶数点”,则()
A.A包含C
B.A与B相互独立
C.B与C互为对立事件
D.B与C互斥但不对立
三、填空题
(★)12.已知复数是纯虚数,则实数________.
(★)13.《易经》是中国传统文化中的精髓,易经八卦分别为乾?坤?巽?震?坎?离?艮?兑,现将乾?坤?巽三卦按任意次序排成一排,则乾?坤相邻的概率为__________.
(★★★★)14.在四棱锥中,底面为菱形,,点到的距离均为2,则四棱锥的体积为__________.
四、解答题
(★★)15.某校为了增强学生的身体素质,积极开展体育锻炼,并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从中随机选出100名学生的成绩(满分为100分),按分数分为,共6组,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值,并求这100名学生成绩的中位数(保留一位小数);
(2)若认定评分在内的学生为“运动爱好者”,评分在内的学生为“运动达人”,现采用分层抽样的方式从不低于80分的学生中随机抽取6名学生参加运动交流会,大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言,求抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的概率.
(★★)16.在棱长为2的正方体中,为的中点.
(1)求异面直线与所成角的余弦值;
(2)求三棱锥的体积.
(★★)17.在中,角的对边分别是,已知.
(1)证明:.
(2)若的面积为1,求.
(★★★)18.已知不透明的盒子中装有标号为1,2,3的小球各2个(小球除颜色?标号外均相同).
(1)若一次取出3个小球,求取出的3个小球上标号均不相同的概率;
(2)若有放回地先后取出2个小球,求取出的2个小球上标号不相同的概率.
(★★★)19.如图,圆台的上底面直径,下底面直径,母线.
(1)求圆台的表面积与体积;
(2)若圆台内放入一个圆锥和一个球,其中在圆台下底面内,当圆锥的体积最大时,求球体积的最大值.
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