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1.垂径定理的内容是什么?画出适合题意的图形,用符号语言表示出来.垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.●OABCDE└CD⊥AB,∵CD是直径,∴AE=BE,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.符号语言图形语言温故而知新
垂径定理推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。∴CD⊥AB,∵CD是直径,AE=BE⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.·OABCDE
(1)如何证明?探究:·OABCDE已知:如图,CD是⊙O的直径,AB为弦,且AE=BE.证明:连接OA,OB,则OA=OB∵AE=BE∴CD⊥AB∴AD=BD,⌒⌒求证:CD⊥AB,且AD=BD,⌒⌒⌒⌒AC=BC⌒⌒AC=BC
(2)“不是直径”这个条件能去掉吗?如果不能,请举出反例。平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。·OABCD
①CD是直径,②CD⊥AB,③AM=BM⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.如果具备上面五个条件中的任何两个,那么一定可以得到其他三个结论吗?一条直线满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦(不是直径);(4)平分弦所对优弧;(5)平分弦所对的劣弧.●OABCD└M推广:
课堂讨论根据已知条件进行推导:①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对优弧⑤平分弦所对劣弧(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。①⑤③④②①④③②⑤①③②④⑤①④⑤②③(3)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。(2)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。①②③④⑤只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.
(4)若,CD是直径,则、、.(1)若CD⊥AB,CD是直径,则、、.(2)若AM=MB,CD是直径,则、、.(3)若CD⊥AB,AM=MB,则、、.1.如图所示:练习●OABCD└MAM=BM⌒⌒AC=BC⌒⌒AD=BDCD⊥AB⌒⌒AC=BC⌒⌒AD=BDCD是直径⌒⌒AC=BC⌒⌒AD=BD⌒⌒AC=BCCD⊥ABAM=BM⌒⌒AD=BD
试一试2.判断:()(1)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.()(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.()(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.()(4)圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行.()(5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.√???√
3、如图,点P是半径为5cm的⊙O内一点,且OP=3cm,则过P点的弦中,(1)最长的弦=cm(2)最短的弦=cm(3)弦的长度为整数的共有()A、2条b、3条C、4条D、5条巩固:AOCD54P3B
4、如图,点A、B是⊙O上两点,AB=8,点P是⊙O上的动点(P与A、B不重合),连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥BP于F,EF=。4
船能过拱桥吗?例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗?
船能过拱桥吗解:如图,用表示桥拱,所在圆的圆心为O,半径为Rm,经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是的中点,CD就是拱高.由题设得在Rt△OAD中,由勾股定理,得解得R≈3.9(m).在Rt△ONH中,由勾股定理,得∴此货船能顺利通过这座拱桥.
OABC已知A、B、C是⊙O上三点,且AB=AC,圆心O到BC的距离为3厘米,圆的半径为5厘米,求AB长。DD试一试OABC
OABOAB已知⊙O的半径为5厘米,弦AB的长为8厘米,求此弦的中点到这条
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