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第三章两样本问题

本章主要介绍两个样本的比较问题。在第二章的基础上，我们继续学习稍复杂些的非参数统计方法。本章内容对应于课本上的第五章，另外补充介绍关于非参数统计中最重要的统计量—U统计量的定义和性质。

本章主要内容：1．Brown－Mood中位数检验法

2．Wilcoxon秩和检验法

3．Mann-WhitneyU统计量检验法

4．U统计量

5.两样本尺度参数秩检验

具体介绍：

本章主要内容分五个部分。第一部分主要是关于两样本中位数的检验问题，主要是将两组样本合成一个合样本，比较两组样本与合样本的中位数的大小进行检验，该检验方法对两个总体的分布仅要求连续且相互独立，但该方法构造检验统计量时没有利用到秩。

第二部分内容是Wilcoxon秩和检验，它在理论上要求两个总体的分布函数具有相同的形式，但不一定是对称分布。在该前提下，可将检验两总体中位数是否相等的问题转化为检验两个总体是否同分布！其检验统计量的构造是建立在秩的基础上，所以其统计量的分布与秩的分布相关。但在这节需注意备择假设的提法！

第三部分是Mann-WhitneyU统计量检验，它和Wilcoxon秩和检验本质上是一种检验方法。它们检验的假设检验问题相同，检验统计量仅相差一个常数。但该方法强调的是运用了非参数统计中重要的一个统计量—U统计量。这也是在第四部分着重介绍的一个统计量。在第四部分，将详细地学习U统计量的定义和性质。

最后一个部分是关于两样本尺度参数的检验问题。这个问题是和前面所学的两样本位置参数的检验问题相对应的。在本节将给出尺度参数的概念和相关的假设检验。

第一节Brown－Mood中位数检验

先看在第一章中提到过的例子。

例3.1哪一个企业职工的工资高？（单位：千元）

这里有22名职工，其中的12名职工来自企业1，另外的10名职工来自

企业2。他们的工资如下：

企业1：111213141516171819204060

企业2：3456789103050。

Mood中位数法具体的求解过程：

这两个企业职工的工资没有差异

企业1职工的工资比企业2职工的工资高

Step1：将这个两个企业一共22名职工合在一起，把它们的工资由小到大排列：

3456789101112131415161718192030405060

带有下划线的数表示企业2的职工的工资，不带下划线的数表示企业1的职工的工资。显然，企业1职工的工资倾向于排在后面，企业2职工的工资倾向于排在前面。

Step2：求合样本的中位数为13.5千元。作出如下的四格表：

工资13.5千元

工资13.5千元

合计

企业1

N11=3

N12=9

N1+=12

企业2

N21=8

N22=2

N2+=10

合计

N+1=11

N+2=11

N=22

其中N11和N12分别是企业1的12名职工中，工资低于和高于合样本中位数13.5千元的职工人数；N21和N22分别是企业2的10名职工中，工资低于和高于合样本中位数13.5千元的职工人数。

Step3：四格表中的N11，N12，N21和N22视为随机变量。但是由上表可知，只要确定了1个变量的值，其余3个变量的值也就随之给定了。通常选定N11视为变量。显然，在N11比较小的时候拒绝原假设，从而企业1职工的工资比企业2职工的工资高。

Step4：N11服从超几何分布。

它的分布律记为,,其中

。

Step5：计算p值，得到。取水平，即拒绝原假设，认为企业1职工的工资比企业2职工的工资高。

Brown－Mood中位数检验问题的一般提法：

记两个独立连续型随机变量总体和的样本分别为和。我们的问题归结为检验它们总体的中位数的差是否等于0，或等于某个常数。换言之，

假设检验：

或

或

特别地，在时，三种检验分别对应于：

或

或

列表：

将两组样本合在一起，记合样本的样本中位数为，然后构造2×2列联表：

mexy

mexy

合计

X样本

N11

N12

N1+

Y样本

N21

N22

N2+

合计

N+1

N+2

N

其中N11和N12分别是的样本中，小于和大于合样本中中位数的观察值个数，N21和N22分别是的样本中，小于和大于合样本中中位数的观察值个数。显然，在合样本容量为偶数时，，，，；而在为奇数时，