北师大版初中数学八年级上册教案第7章.pdf

7．1为什么要证明

1．了解推理的意义，知道要判断一个数学结论是否正确，必须进行推理；(重点)

2．会用实验验证、举出反例、推理等方法简单地验证一个数学结论是否正确．(难点)

一、情境导入

人的视觉有时候受到周围环境和自身经验的影响，会引导我们做出错误的判断．只有通

过科学的方法推理论证，做出的判断才是正确的．如图，图中的四边形是正方形还是梯形？

你能肯定吗？怎样来验证你的结论呢？快来学习本节知识吧！

二、合作探究

探究点一：数学的结论必须经过严格的论证

当n＝1，2，3，4，5时，代数式n－3n＋7的值是质数吗？你能肯定：对于所有2

的自然数，式子n－3n＋7的值都是质数吗？2

解析：把1，2，3，4，5等自然数代入n－3n＋7中进行验证．2

解：当n＝1，2，3，4，5时，n－3n＋7的值分别是5，5，7，11，17，全是质数．而2

当n＝6时，n－3n＋7＝6－18＋7＝25＝5.所以对于所有自然数，式子n－3n＋7的值不都2222

是质数．

方法总结：判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察是不够的，必须给出严格

的证明或实验验证．

探究点二：检验数学结论的常用方法

【类型一】实验验证

先观察再验证．

(1)图①中实线是直的还是弯曲的？

(2)图②中两条线段a与b哪一条更长？

(3)图③中的直线AB与直线CD平行吗？

解析：①②用直尺量；③用三角板平推．

解：观察可能得出的结论是：(1)实线是弯曲的；(2)a更长一些；(3)AB与DC不平行．而

我们用科学的方法验证后发现：(1)实线是直的；(2)a与b一样长；(3)AB平行于CD.

方法总结：有时视觉受周围环境的影响，往往误导我们，让我们得出错误的结论，所以

仅靠经验、观察是不够的，只有通过科学的实验进行严格的推理，才能得出最准确的结论．

【类型二】举出反例

当n为正整数时，代数式(n－5n＋5)的值都等于1吗？22

解析：对于代数式(n－5n＋5)，n的取值为正整数，要判断(n－5n＋5)的值是否为1，2222

可以先取值分别求出代数式的．

解：当n＝1时，(n－5n＋5)＝1＝1；当n＝2时，(n－5n＋5)＝(－1)＝1；当n＝3222222

22222222

时，(n－5n＋5)＝(－1)＝1；当n＝4时，(n－5n＋5)＝1＝1；当n＝5时，(n－5n＋5)

222

＝5＝25≠1.所以当n为正整数时，(n－5n＋5)不一定等于1.

方法总结：验证特例是判断一个结论错误的最好方法．

【类型三】推理证明

如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知OA⊥OC，OB⊥OD.

(1)若∠BOC＝30°，求∠AOB和∠COD的度数；

(2)若∠BOC＝54°，求∠AOB和∠COD的度数；

(3)由(1)、(2)你发现了什么？

(4)你能肯定上述的发现吗？

解析：图中∠AOB、∠COD均与∠BOC互余，根据角的和、差关系，可求得∠AOB与∠COD

的度数．通过计算发现∠AOB＝∠COD，于是可以归纳∠AOB＝∠COD.

解：(1)∵OA⊥OC，OB⊥OD，∴∠AOC＝∠BOD＝90°.∵∠BOC＝30°，∴∠AOB＝∠AOC

－∠BOC＝90°－30°＝60°，∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－30°＝60°.

(2)∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－54°＝36°，∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－54°＝

36°.

(3)由(1)、(2)可发现：∠AOB＝∠COD.

(4)∵∠AOB＋∠BOC＝∠AOC＝90°，∠BOC＋∠COD＝∠BOD＝90°，∴∠AOB＋∠BOC＝

∠BOC＋∠COD.∴∠AOB＝∠COD.

方法总结：检验数学结论具体经历的过程是：观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推

理→正确结论．

三、板书设计