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福建省泉州市惠安县2024-2025学年高一数学“达利杯”学科素养竞赛试题
考生留意事项:
1本卷共有18道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.
2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号.
3本卷全部试题都必需用蓝色或黑色签字笔在答题卡上书写,在试题卷上作答无效.
4本卷解答一律不准运用计算器.
选择题(本大题共8小题,每小题4分,满分32分,每小题有且仅有一个正确的答案)
1.设常数,集合,若,则的取值范围为()
A. B. C. D.
2.在体育选修课排球模块基本功(发球)测试中,计分规则如下(满分为10分):①每人可发球5次,每胜利一次记1分;②若连续两次发球胜利加分,连续三次发球胜利加1分,连续四次发球胜利加分,以此类推,连续五次发球胜利加2分.假设某同学每次发球胜利的概率为,且各次发球之间相互独立,则该同学在测试中恰好得5分的概率是()
A. B. C. D.
3.已知函数,且互不相等的实数满意,则的取值范围是()
A.B.C. D.
4.已知正三角形的边长为1,点是边上的动点,点是边上的动点,且,,,则的最大值为()
A. B. C. D.
5.如图,已知是半径为1,圆心角为的扇形,点分别是半径及扇形弧上的三个动点(不同于三点),则周长的最小值是()
A. B. C. D.
科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线,一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到,任画一条线段,然后把它均分成三等分,以中间一段为边向外作正三角形,并把中间一段去掉,这样,原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线,称为“一次构造”;用同样的方法把每条小线段重复上述步骤,得到16条更小的线段构成的折线,称为“二次构造”,…,如此进行“n次构造”,就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍,则至少须要通过构造的次数是()
(参考数据:)
A.16 B.17 C.24 D.25
7.已知函数,其中表示不超过实数的最大整数.若关于的方程有三个不同的实根,则实数的取值范围是()
A. B.
C. D.
8.已知.给出下列推断:
①若,且,则;
②存在,使得的图象右移个单位长度后得到的图象关于轴对称;
③若在上恰有7个零点,则的取值范围为;
④若在上单调递增,则的取值范围为;
其中,推断正确的个数为()
A.1 B.2 C.3 D.4
填空题(本大题共6个小题,每小题6分,满分36分.)
9.求“方程的解”有如下解题思路:设,则在R上单调递减,且,所以原方程有唯一解.类比上述解题思路,不等式的解集为?▲.
10.已知正数满意,则的最小值为▲.
11.设O是所在平面上一点,点H是的垂心,满意,且,则角A的大小是?▲.
12.如图,在三棱锥中,若底面是正三角形,侧棱长,分别为棱的中点,并且,则三棱锥的外接球的体积为?▲.
解答题(本大题共6小题,第13、14题各8分,其余每题9分,共52分.要求写出必要的解答过程)
13.设且≥15,都是{1,2,3,…,}真子集,,且
={1,2,3,…,}.证明:或者中必有两个不同数的和为完全平方数.
14.甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人竞赛,另一人当裁判,每局竞赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为各局竞赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判.
(1)求第4局甲当裁判的概率;
(2)求前4局中乙恰好当1次裁判概率.
15.设函数,
(1)求函数在上的最大值与最小值;
(2)若实数使得对随意恒成立,求的值.
16.如图,在中,,点在线段上,过点做//交于点,将的位置(),使得.
(1)若,试确定点在上的位置;
(2)试问:当点在线段上移动时,二面角的平面角的余弦值是否为定值?若是,求出定值,若不是,说明理由.
A
Aaaaaa
B
C
E
F
P
B
E
F
C
17.设函数和是定义在集合上的函数,若对随意都有成立,则称函数和在集合上具有性质.
(1)若函数和在集合上具有性质,求集合;
(2)若函数和在集合上具有性质,求的取值范围.
18.已知函数.
(1)且,求在区间上的最大值;
(2)若且是的零点,求全部可能的值.
2024年学科素养竞赛
高一数学参考答案
选择题:BCDABDAB
填空题:9.10.11.12.
解答题:
13.解:(1)记A2表示事务“第2局结果为甲胜”,
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