不等关系与不等式高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.pptxVIP

2.1课时1

不等关系与不等式

学习目标

1.能用不等式（组）表示实际问题的不等关系.

2.用两实数大小关系的基本事实，能灵活用作差法比较两个数与式的大小.

3.能由赵爽弦图和两个实数大小关系的基本事实，得出a2+b2≥2ab及等号成立的条件，并会使用.

情境引入

实际生活中的大小关系

高矮

轻重

长短

新课讲授

——从生活中抽象出不等关系

问题1你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？

1、右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式是：________

0v≤40

40

2、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式是：_______

4、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，写成不等式是：_________

AD＜AB

常见的文字语言与符号语言之间的转换

文字语言

大于，高于，超过

小于，低于，少于

大于等于，至少，不低于

小于等于，至多，不超过

符号语言

__

__

___

___

≥

≤

问题2某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？

分析：若杂志的定价为x元，则销售量减少：

因此，销售总收入为：

用不等式表示为：

例1用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18m,要求菜园的面积不小于110m2,靠墙的一边长为xm.试用不等式表示其中的不等关系.

如何解以上所列的不等式呢？

在初中，我们知道由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？

设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，ab；当点A在点B的右边时，ab.

新课讲授

——作差法比较大小

如何比较两个式子的大小？

1.数轴：

在数轴上，右边的数要大于左边的数；

2.作差法：

对于任意两个实数a、b，在a＞b，a=b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立.

例2比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小.

解：(x+2)(x+3)－(x+1)(x+4)

=(x2+5x+6)－(x2+5x+4)

=20

所以(x+2)(x+3)(x+1)(x+4).

作差

变形

判号

定论

练1.比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小.

∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)0，

∴2x2＋5x＋3x2＋4x＋2.

练2.若实数ab，则a2－ab____ba－b2.(填“”或“”)

因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，

又ab，所以(a－b)20.

作差（比较）法既是比较大小(或证明大小)的基本方法，又是推导不等式的基础.

新课讲授

——重要不等式

问题3如图是北京召开第24届国际数学家大会的会标，它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理作的弦图进行设计的，颜色的明暗使其看起来像一个风车.

①这个图案中有着怎样的几何图形？

②若三角形的两条直角边为别为a、b，大正方形面积S1与

四个全等直角三角形面积之和S2为多少？

③你能找到他们之间的不等关系吗？能得出什么不等式？

大正方形ABCD、四个全等直角三角形、小正方形EFGH

大正方形的面积S1为a2＋b2，四个直角三角形的面积之和S2为2ab，

a2＋b2＞2ab

那么S1和S2有可能相等吗？

a2＋b2＞2ab

a2＋b2＝2ab

a＝b

当a＞0，b＞0时，a2＋b2≥2ab

当且仅当a＝b时，等号成立.

我们称这个不等式为重要不等式.

思考：你能给出不等式a2＋b2≥2ab的证明吗？

证明：（作差法）

例3已知a0，b0.求证：a2＋3b2≥2b(a＋b).

证：因为a2＋3b2－2b(a＋b)＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0，

当且仅当a＝b时，等号成立，

所以a2＋3b2≥2b(a＋b).

练3.证明a3＋b3≥ab2＋a2b.

证：∵a3＋b3－(ab2＋a2b)＝a3＋b3－ab2－a2b＝a3－ab2＋b3－a2b

＝a(a2－b2)＋b(b2－a2)＝(a2－b2)(a－b)＝(a＋b)(a－b)2，

∵a0，b0，∴(a＋b)(a－b)2≥0，

当且仅当a＝b时，等号成立，

∴a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0，

∴a3